無網(wǎng)格法的簡(jiǎn)介

2017-07-30 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

無網(wǎng)格方法誕生于1977年。Lucy L B,Gingold R A,Monaghan J J等,使用SPH方法模擬無邊界的天體現(xiàn)象,這是最早的無網(wǎng)格方法。在SPH方法中,近似函數(shù)使用核(kerne)近似,方程離散使用配點(diǎn)法,其精度比較低,并且容易出現(xiàn)不穩(wěn)定性。

在隨后的15年里,無網(wǎng)格的發(fā)展處于停滯狀態(tài)。直到1992年,Nayroles使用移動(dòng)最小二乘法(MLS)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)近似,并使用Galerkin方法進(jìn)行邊值問題求解,他稱這種方法為Diffuse Element Method(DEM)。在DEM中,只需要分布的節(jié)點(diǎn)和邊界描述,不需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分,這也正是“無網(wǎng)格”的由來。

1994年,西北大學(xué)的Belytschko教授同樣使用MLS進(jìn)行節(jié)點(diǎn)近似,但考慮了在DEM中忽略的形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的某些項(xiàng),并使用Lagrange乘子施加本質(zhì)邊條,稱其為無單元伽遼金方法(EFG)。EFG比DEM精確,在許多領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用,特別是在裂縫生長(zhǎng),晶體生長(zhǎng),大變形的等問題中。此后,無網(wǎng)格方法迅猛發(fā)展,目前不同的無網(wǎng)格方法有十多種:SPH,DEM,EFG,RKPM(再生核質(zhì)子法),FPM(有限點(diǎn)方法),BNM(邊界節(jié)點(diǎn)方法),PU(單位分解),PUFEM(單位分解有限元),HP-Cloud(HP云,或HP覆蓋),MLPG(無網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin方法),LBIE(局部邊界積分方程方法),MFS(有限球方法),FMM(Free Mesh Method),NEM(自然元)等等。

無網(wǎng)格方法的一個(gè)重要貢獻(xiàn)就是,不僅在于其本身,對(duì)于有限元,有限差分的推動(dòng)作用也是非常大的。如單位分解有限元,使得有限元的精度大大提高,不再是C0的了。廣義有限元和廣義有限差分的出現(xiàn)也是由于無網(wǎng)格的推動(dòng)作用。

無網(wǎng)格方法出現(xiàn)之前,有限元方法是固體和結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法。我們知道,對(duì)于一個(gè)很復(fù)雜的一維函數(shù),在全域內(nèi)直接進(jìn)行逼近是不容易的,于是我們一般將其定義域劃分成小段,在每一段是用較低階次的差值,每段交界處滿足某些連續(xù)性條件,就會(huì)得到一個(gè)較好的插值結(jié)果。一維函數(shù)要分段,二維三維的就劃分成網(wǎng)格了,在每個(gè)小網(wǎng)格上用簡(jiǎn)單的插值函數(shù)表示全域上的復(fù)雜函數(shù),這就是有限元方法基本出發(fā)點(diǎn),也完成了微分方程求解的第一步,也就是近似解空間的構(gòu)造。至于后面的伽遼金方法啦,勢(shì)能泛函啦,剛度矩陣?yán)?都是在插值方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的固定套路。網(wǎng)格的引入將插值問題從整體引向了局部,這就大大減小了插值函數(shù)構(gòu)造的難度,既然近似解空間順利地構(gòu)造了出來,那么后面的的求解就是順理成章的事情了。于是有限遠(yuǎn)方法成了偏微分方程求解的首選方法,在力學(xué)和工程上獲得了最廣泛的應(yīng)用。當(dāng)然,有限元方法也有其自身的缺點(diǎn),當(dāng)然這些缺點(diǎn)也大都來源于網(wǎng)格。首先不是在所有的網(wǎng)格上都能構(gòu)造出適定的插值函數(shù)來的,如果網(wǎng)格出現(xiàn)內(nèi)凹等情況,那么就不能構(gòu)造出適定的插值函數(shù)。即便在劃分初始網(wǎng)格的時(shí)候充分注意保證不出現(xiàn)奇異的網(wǎng)格,后續(xù)若變形過大也很難保證變形后的網(wǎng)格不奇異,這就使得有限元方法在處理極端大變形的時(shí)候出現(xiàn)困難。其次,有限元插值函數(shù)的構(gòu)造還需考慮網(wǎng)格之間的連續(xù)性,對(duì)于C0連續(xù)性,構(gòu)造是十分簡(jiǎn)單的,但是一旦連續(xù)性要求提高,譬如要求C1連續(xù)性,那么插值函數(shù)的構(gòu)造就變得異常困難,困難到迄今為止對(duì)于板殼問題也沒有構(gòu)造出完全滿足C1連續(xù)性的單元。還有,如果計(jì)算過程中需要重新劃分網(wǎng)格,譬如裂縫擴(kuò)展問題或者自適應(yīng)分析問題,網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生了變化,其計(jì)算成本機(jī)會(huì)變得非常大。

既然有限元方法也有這樣那樣的缺點(diǎn),那么我們就希望解決這些問題。首先說這些問題都來源于網(wǎng)格,那么直接在有限元基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),效果自然不會(huì)達(dá)到最好,于是研究者把革命的對(duì)象鎖定在了網(wǎng)格上。幾經(jīng)嘗試以后,一種基于點(diǎn)集的插值方法被研究者廣泛采用,現(xiàn)今的無網(wǎng)格方法,一般就指的是這一類基于點(diǎn)集的數(shù)值方法。其實(shí)這一類方法很早就有人研究過,不過一直都不溫不火地停留在計(jì)算數(shù)學(xué)的層面上,沒有進(jìn)入力學(xué)和應(yīng)用領(lǐng)域。直到上世紀(jì)九十年代,TB發(fā)現(xiàn)了這類方法的潛力并發(fā)表了幾篇代表性論文,解決了二維裂縫的端部場(chǎng)分析和擴(kuò)展問題,才引起了研究者的廣泛關(guān)注,并且誕生了一系列系統(tǒng)的研究,其中我美國這邊的導(dǎo)師賴以揚(yáng)名立萬的工作就是他在九十年代中后期利用無網(wǎng)格方法進(jìn)行固體大變形分析方面的工作。這類方法至少在某種程度上擯棄了網(wǎng)格,直接在點(diǎn)集上構(gòu)造插值基函數(shù),自然而然地解決了有限元方法所不能解覺得問題,譬如大變形,高階連續(xù)性插值和自適應(yīng)求解,特別是看到TB漂亮地解決了二維裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展問題,研究者和工程師無不歡呼雀躍,認(rèn)為這一類方法是繼有限元之后的下一代通用數(shù)值方法。我就是在這種情況下接觸無網(wǎng)格方法的,并且?guī)е鴮?duì)于新一代數(shù)值方法的渴求來到美國,投師無網(wǎng)格方法的重量級(jí)學(xué)者。然而,經(jīng)過了一段時(shí)間的學(xué)習(xí)之后,現(xiàn)今的認(rèn)識(shí)卻與最初大相徑庭,至少現(xiàn)在我不認(rèn)為這類方法能夠代替有限元方法成為下一代通用數(shù)值方法。因?yàn)槲彝ㄟ^自己編程一步一步下來,發(fā)現(xiàn)較之于有限元方法,無網(wǎng)格方法的問題一點(diǎn)不比它的優(yōu)點(diǎn)少。首先說無網(wǎng)格方法確實(shí)提高了插值的連續(xù)性,但同時(shí)也極大地提高了計(jì)算量,求解域內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)的插值系數(shù)都需要對(duì)相應(yīng)節(jié)點(diǎn)耦合矩陣求逆,光滑性越高耦合矩陣的階數(shù)就越高,相應(yīng)的求逆就越耗費(fèi)計(jì)算量,較之于有限元方法,這一部分計(jì)算負(fù)擔(dān)實(shí)在太重。對(duì)于被奉為經(jīng)典的二維裂縫擴(kuò)展問題,仔細(xì)考察就會(huì)發(fā)現(xiàn)裂縫擴(kuò)展問題的關(guān)鍵技術(shù)在于加強(qiáng)函數(shù)(enrichment)的采用,其實(shí)用不用無網(wǎng)格插值都可以,用有限元插值也沒有任何問題,這就是后來發(fā)展的,也是現(xiàn)在最熱門的擴(kuò)展有限元方法(XFEM)。

無網(wǎng)格方法的優(yōu)勢(shì)只在于極端大變形問題,譬如沖擊、爆破等問題,就目前情況很難成為一種通用的被廣泛接受的數(shù)值方法。