無網格法的簡介

2017-07-30 by:CAE仿真在線來源:互聯網

無網格方法誕生于1977年。Lucy L B,Gingold R A,Monaghan J J等,使用SPH方法模擬無邊界的天體現象,這是最早的無網格方法。在SPH方法中,近似函數使用核(kerne)近似,方程離散使用配點法,其精度比較低,并且容易出現不穩(wěn)定性。

在隨后的15年里,無網格的發(fā)展處于停滯狀態(tài)。直到1992年,Nayroles使用移動最小二乘法(MLS)進行節(jié)點近似,并使用Galerkin方法進行邊值問題求解,他稱這種方法為Diffuse Element Method(DEM)。在DEM中,只需要分布的節(jié)點和邊界描述,不需要進行網格劃分,這也正是“無網格”的由來。

1994年,西北大學的Belytschko教授同樣使用MLS進行節(jié)點近似,但考慮了在DEM中忽略的形函數導數的某些項,并使用Lagrange乘子施加本質邊條,稱其為無單元伽遼金方法(EFG)。EFG比DEM精確,在許多領域獲得廣泛的應用,特別是在裂縫生長,晶體生長,大變形的等問題中。此后,無網格方法迅猛發(fā)展,目前不同的無網格方法有十多種:SPH,DEM,EFG,RKPM(再生核質子法),FPM(有限點方法),BNM(邊界節(jié)點方法),PU(單位分解),PUFEM(單位分解有限元),HP-Cloud(HP云,或HP覆蓋),MLPG(無網格局部Petrov-Galerkin方法),LBIE(局部邊界積分方程方法),MFS(有限球方法),FMM(Free Mesh Method),NEM(自然元)等等。

無網格方法的一個重要貢獻就是,不僅在于其本身,對于有限元,有限差分的推動作用也是非常大的。如單位分解有限元,使得有限元的精度大大提高,不再是C0的了。廣義有限元和廣義有限差分的出現也是由于無網格的推動作用。

無網格方法出現之前,有限元方法是固體和結構分析中應用最廣泛的數值方法。我們知道,對于一個很復雜的一維函數,在全域內直接進行逼近是不容易的,于是我們一般將其定義域劃分成小段,在每一段是用較低階次的差值,每段交界處滿足某些連續(xù)性條件,就會得到一個較好的插值結果。一維函數要分段,二維三維的就劃分成網格了,在每個小網格上用簡單的插值函數表示全域上的復雜函數,這就是有限元方法基本出發(fā)點,也完成了微分方程求解的第一步,也就是近似解空間的構造。至于后面的伽遼金方法啦,勢能泛函啦,剛度矩陣啦,都是在插值方法的基礎上進行的固定套路。網格的引入將插值問題從整體引向了局部,這就大大減小了插值函數構造的難度,既然近似解空間順利地構造了出來,那么后面的的求解就是順理成章的事情了。于是有限遠方法成了偏微分方程求解的首選方法,在力學和工程上獲得了最廣泛的應用。當然,有限元方法也有其自身的缺點,當然這些缺點也大都來源于網格。首先不是在所有的網格上都能構造出適定的插值函數來的,如果網格出現內凹等情況,那么就不能構造出適定的插值函數。即便在劃分初始網格的時候充分注意保證不出現奇異的網格,后續(xù)若變形過大也很難保證變形后的網格不奇異,這就使得有限元方法在處理極端大變形的時候出現困難。其次,有限元插值函數的構造還需考慮網格之間的連續(xù)性,對于C0連續(xù)性,構造是十分簡單的,但是一旦連續(xù)性要求提高,譬如要求C1連續(xù)性,那么插值函數的構造就變得異常困難,困難到迄今為止對于板殼問題也沒有構造出完全滿足C1連續(xù)性的單元。還有,如果計算過程中需要重新劃分網格,譬如裂縫擴展問題或者自適應分析問題,網格的拓撲結構發(fā)生了變化,其計算成本機會變得非常大。

既然有限元方法也有這樣那樣的缺點,那么我們就希望解決這些問題。首先說這些問題都來源于網格,那么直接在有限元基礎上對其進行改進,效果自然不會達到最好,于是研究者把革命的對象鎖定在了網格上。幾經嘗試以后,一種基于點集的插值方法被研究者廣泛采用,現今的無網格方法,一般就指的是這一類基于點集的數值方法。其實這一類方法很早就有人研究過,不過一直都不溫不火地停留在計算數學的層面上,沒有進入力學和應用領域。直到上世紀九十年代,TB發(fā)現了這類方法的潛力并發(fā)表了幾篇代表性論文,解決了二維裂縫的端部場分析和擴展問題,才引起了研究者的廣泛關注,并且誕生了一系列系統(tǒng)的研究,其中我美國這邊的導師賴以揚名立萬的工作就是他在九十年代中后期利用無網格方法進行固體大變形分析方面的工作。這類方法至少在某種程度上擯棄了網格,直接在點集上構造插值基函數,自然而然地解決了有限元方法所不能解覺得問題,譬如大變形,高階連續(xù)性插值和自適應求解,特別是看到TB漂亮地解決了二維裂紋動態(tài)擴展問題,研究者和工程師無不歡呼雀躍,認為這一類方法是繼有限元之后的下一代通用數值方法。我就是在這種情況下接觸無網格方法的,并且?guī)е鴮τ谛乱淮鷶抵捣椒ǖ目是髞淼矫绹?投師無網格方法的重量級學者。然而,經過了一段時間的學習之后,現今的認識卻與最初大相徑庭,至少現在我不認為這類方法能夠代替有限元方法成為下一代通用數值方法。因為我通過自己編程一步一步下來,發(fā)現較之于有限元方法,無網格方法的問題一點不比它的優(yōu)點少。首先說無網格方法確實提高了插值的連續(xù)性,但同時也極大地提高了計算量,求解域內的每個點的插值系數都需要對相應節(jié)點耦合矩陣求逆,光滑性越高耦合矩陣的階數就越高,相應的求逆就越耗費計算量,較之于有限元方法,這一部分計算負擔實在太重。對于被奉為經典的二維裂縫擴展問題,仔細考察就會發(fā)現裂縫擴展問題的關鍵技術在于加強函數(enrichment)的采用,其實用不用無網格插值都可以,用有限元插值也沒有任何問題,這就是后來發(fā)展的,也是現在最熱門的擴展有限元方法(XFEM)。

無網格方法的優(yōu)勢只在于極端大變形問題,譬如沖擊、爆破等問題,就目前情況很難成為一種通用的被廣泛接受的數值方法。