有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢

2016-12-15 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

一、有限元法基本思想

有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化,用有限個簡單的單元來表示復(fù)雜的對象,單元之間通過有限個節(jié)點(diǎn)相互連接,然后根據(jù)平衡和變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的,節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也是有限的,所以稱為有限元法(FEM,Finite Element Method)。

有限單元方法是迄今為止最為有效的數(shù)值計算方法之一,它對科學(xué)與工程技術(shù)的提供巨大支撐。

二、有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展

在17世紀(jì),牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法,證明了該運(yùn)算具有整體對局部的可加性。
在18世紀(jì),著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。另一位數(shù)學(xué)家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達(dá)式的另一途經(jīng)。
在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初,數(shù)學(xué)家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運(yùn)用位移函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)。
1915年,數(shù)學(xué)家伽遼金提出了選擇位移函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法方法被廣泛地用于有限元。
1943年,數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用位移函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)。這實(shí)際上就是有限元的做法。
20世紀(jì)50年代,飛機(jī)設(shè)計師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分析飛機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。波音公司的一個技術(shù)小組,首先將連續(xù)體的機(jī)翼離散為三角形板塊的集合來進(jìn)行應(yīng)力分析,經(jīng)過一番波折后獲得成功。(Clough教授參與研究。)
20世紀(jì)50年代,大型電子計算機(jī)投入了解算大型代數(shù)方程組的工作,這為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了物質(zhì)條件。
1960年,美國加州大學(xué)伯克利分校的R.W.Clough教授在論文中提出了“有限單元”,這樣的名詞。值得驕傲的是我國南京大學(xué)馮康教授在此前后獨(dú)立地在論文中提出了“有限單元”。

三、有限元法計算方法及軟件

有限元計算方法作為一種技術(shù)更多的與FEM軟件的發(fā)展緊密的結(jié)合起來。方法不斷更新,優(yōu)勝劣汰,傳承和發(fā)展。在傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計算方法之中,有直接計算法(DirectSolver)與迭代法(Iterative 所謂快速解法)兩種。

常見的有限元軟件有:美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC 、COSMOS、ELAS、 MSC 和STARDYNE,德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的 SYSTUS等。

顯式/隱式有限元法:只需對可以簡化為對角陣的質(zhì)量矩陣求逆,沒有增量步內(nèi)迭代收斂問題,可以一直計算下去。隱式計算具有時間步長增量較大、每個荷載步都能控制收斂,避免誤差累積、存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)模增大而成超線性增長的特點(diǎn)。相對與隱式顯式計算具有時間步長很小、誤差累積、不存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)模基本為線性增長的特點(diǎn)。這種計算方法的代表軟件有ABQUS。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片1

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片2

離散單元法:離散單元法也被稱為散體單元法,最早是1971年由Cundall提出的一種不連續(xù)數(shù)值方法模型,這種方法的優(yōu)點(diǎn)是適用于模擬離散顆粒組合體在準(zhǔn)靜態(tài)或動態(tài)條件下的變形過程。離散單元法不是建立在最小勢能變分原理上,而是建立在最基本的牛頓第二運(yùn)動定律上。它以每個剛體的運(yùn)動方程為基礎(chǔ),建立描述整個破壞過程的顯式方程組后,通過動力松弛迭代求解。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片3
筒倉卸料模型

剛體彈簧單元法:剛體彈簧單元法(RigidBodySpringMethod,RBSM) 最早由Kawai于1976年提出,當(dāng)初提出的意圖是以較少的自由度來求解結(jié)構(gòu)問題。它把體系分解為一些由均布在接觸面上的彈簧系統(tǒng)聯(lián)系起來的剛性元,剛性元本身不發(fā)生彈性變形,因此結(jié)構(gòu)的變形能僅能儲存在接觸面的彈簧系統(tǒng)中。由于剛體彈簧元單元間的作用力通過單元界面上彈簧傳遞,可以直接得到界面的作用力, 因此在巖土界面分析等領(lǐng)域也有著較好的應(yīng)用。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片4

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片5

管樁壓入土壤過程

接觸判斷法:通過單元之間的相互接觸判斷得到相互之間的作用力,進(jìn)而形成運(yùn)動方程。因此,快速而準(zhǔn)確的接觸算法對有限元方法非常重要。由于由于計算過程中單元往往會發(fā)生較大位移,使得原有的塊體間的空間拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化,使接觸判斷變得更加復(fù)雜。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片6

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢cae-fea-theory圖片7

輕型裝配式鋼結(jié)構(gòu)插接式節(jié)點(diǎn)接觸分析

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢cae-fea-theory圖片8

無網(wǎng)格法:傳統(tǒng)有限元需要構(gòu)造特定的單元網(wǎng)格來形成位置插值函數(shù),是否可以讓計算機(jī)根據(jù)節(jié)點(diǎn)信息來“自動”形成位移插值函數(shù)?無網(wǎng)格法可以實(shí)現(xiàn)。無網(wǎng)格法對函數(shù)的要求有:

光滑連續(xù);
影響的節(jié)點(diǎn)有限。

無網(wǎng)格法常用插值方法有: 移動最小二乘、核函數(shù)與徑向基函數(shù)。整體方程有配點(diǎn)法、最小二乘法、伽遼金法。伽遼金法是應(yīng)用最廣、最穩(wěn)定的無網(wǎng) 格法之一。

XFEM:1999年提出,擴(kuò)展有限元法(XFEM),在 Belytschko等學(xué)者努力下XFEM得到長足發(fā)展,在ABAQUS的6.10版本軟件中得以實(shí)現(xiàn)。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢cae-fea-theory圖片9

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片10

四、結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域有限元法的發(fā)展趨勢

1. 多物理場耦合問題

近年來有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場、電傳導(dǎo)、磁場、滲流和聲場等問題的求解計算,最近又發(fā)展到求解幾個交叉學(xué)科的問題。如需要用固體力學(xué)和流體動力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解,即所謂“流固耦合”的問題。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片11

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片12

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢有限元理論圖片13

河南永豐石拱橋倒塌

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢cae-fea-theory圖片14

2. 線性工程問題到非線性分析問題

線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計的要求。例如土木工程中的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn),就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位移和大應(yīng)變等幾何非線性問題;

航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力,也要考慮材料的非線性問題;諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn),僅靠線性計算理論就不足以解決遇到的問題,只有采用非線性有限元算法才能解決。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢cae-fea-theory圖片15
預(yù)應(yīng)力混凝土梁開裂過程

3. 時變結(jié)構(gòu)及連續(xù)倒塌問題

結(jié)構(gòu)不可能天生就存在那里,也不可能憑空消失,所以結(jié)構(gòu)物的建造或則拆除過程,均為動態(tài)的,在不同階段可能表現(xiàn)出不同力學(xué)性能,其中存在很多復(fù)雜問題。有限元對于此類過程分析,往往根據(jù)施工過程,編制時程程序,動態(tài)跟蹤結(jié)構(gòu)性能變化。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢cae-fea-theory圖片16

4. 優(yōu)化問題:

在有限元中有這幾個方面的需求,如邊界形狀優(yōu)化、最小質(zhì)量、等強(qiáng)度、等應(yīng)變、動力學(xué)參數(shù)優(yōu)化等,優(yōu)化問題的特點(diǎn)是變量多(幾十/數(shù)百),許多實(shí)際的優(yōu)化算法這樣多的變量中穩(wěn)健性還有待提高。

5. 湍流問題:

目前已經(jīng)有一些較好的方法,如有限體積法等,仍需深入,目前湍流問題實(shí)際上根本不是算法問題,而是介質(zhì)的物理模型問題;人們對湍流的認(rèn)識可能還受到目前科學(xué)技術(shù)水平的限制。

五、結(jié)語

有限元法不是萬能的,關(guān)鍵是其思想,它完美地體現(xiàn)了哲學(xué)中局部與整體的關(guān)系,要解決整體問題,必須先研究局部問題, 局部問題研究清楚后,再研究局部之間作用的關(guān)系,然后各個局部在一個統(tǒng)一的坐標(biāo)尺度下綜合,考慮整個系統(tǒng)和外部的關(guān)系,最后得到全局的特征。

有限元方法是我們認(rèn)識世界的科學(xué)工具,但它的哲學(xué)含義、方法論含義還遠(yuǎn)沒有為人們所認(rèn)識。

有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢cae-fea-theory圖片17