顯式和隱式動力分析比較

顯式分析:用上一步的結果和當前步的結果計算下一步的計算結果。有條件收斂,要求時間步較小。通常做動力分析用這種方法。

隱式分析:用當前步結果和下一步未知結果反復迭代下一步結果,必須通過迭代得到。無條件收斂。是一種能量平衡的結果。通常做靜力分析用這種方法。

顯式算法:

顯式算法最大優(yōu)點是有較好的穩(wěn)定性。

動態(tài)顯式算法采用動力學方程的一些差分格式(如廣泛使用的中心差分法、線性加速度法等),不用直接求解切線剛度,不需要進行平衡迭代,計算速度快,時間步長只要取的足夠小,一般不存在收斂性問題。 顯式算法不需要迭代,也不需要組集總剛,因此需要的內(nèi)存也比隱式算法要少。并且數(shù)值計算過程可以很容易地進行并行計算,程序編制也相對簡單。但顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對角矩陣,而且只有在單元級計算盡可能少時速度優(yōu)勢才能發(fā)揮, 因而往往采用減縮積分方法,容易激發(fā)沙漏模式,影響應力和應變的計算精度。"

靜態(tài)顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler向前差分法,不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿足,所以得出的結果會慢慢偏離正確值。為了減少相關誤差,必須每步使用很小的增量。這個方法目前應用比較少。

隱式算法 :

在每一增量步內(nèi)都需要對靜態(tài)平衡方程進行迭代求解,并且每次迭代都需要求解大型的線性方程組,這以過程需要占用相當數(shù)量的計算資源、磁盤空間和內(nèi)存。該算法中的增量步可以比較大,至少可以比顯式算法大得多,但是實際運算中上要受到迭代次數(shù)及非線性程度的限制,需要取一個合理值。通常在一個時間增量下,隱式算法在彈塑性后期此時剛度比較奇異了,難以收斂,也就需要采用二分法把當前的分析步折半繼續(xù)解方程,并且不斷二分下去直到方程求解完成,所以隱式算法時在前面計算速度還不錯,但越往后越慢,時間也是不可估量的,可能在地震波20s就算不下去了等等。但是隱式算法有個好處就是只要算了步數(shù)其結果一般一定是正確的,不會像顯式那樣雖然算完了,其結果可能是發(fā)散的。

隱式算法在求解運動方程時是當前步結果除了更上一步有關外還跟當前步有關,因此不能解耦大型方程組,需要組集剛度,用得多是newmark法和wilson-theta法,其中的beta、alpha和theta值的確定可改變方法的穩(wěn)定性、計算效率等。隱式求解法的最大優(yōu)點是它具有無條件穩(wěn)定性,即時間步長可以任意大。

計算時間:

上面大致說了下,不過一般經(jīng)驗表明:

通常認為兩者有此區(qū)別:

從上面大致可以出,有些認識只是表象而已,其中(1)是明顯的錯誤,因為兩種方法都可以用于動力學和靜力學問題,只是一種選擇而已,(2)也是錯誤的,阻尼的選擇不是算法本身,而是求解需求。(03)是算法的本質(zhì),也決定了(04)(05)(06)(07)(08),這是算法的特點所在,04~08并非算法本身的特點而是每一步求解方法的特征。同理(09)是算法的特點,決定了(10)(11)。

過(03)(09)可以得到兩種方法的計算特點,顯式算法是每一步求解為矩陣乘法,時間步選擇為條件穩(wěn)定;隱式算法是每一步求解為線性方程組求解,時間步選擇為無條件穩(wěn)定。

附加說明:

{1)求解線性靜力學問題,雖然求解線性方程組,但是沒有時步的關系,所以不應將其看作隱式算法。而是靜力學隱式方程求解問題。

(2)求解非線性靜力學問題,雖然求解過程需要迭代,或者是增量法,但是沒有明顯的時步問題,所以不應將其看作隱式算法。仍歸結為隱式方程求解問題

3)靜態(tài)松弛法,可以認為是將動力學問題看作靜力學問題來解決,每一步達到靜力平衡,需要數(shù)值阻尼。

4)動態(tài)松弛法,可以認為是將靜力學問題或者動力學問題,分為時步動力學問題,采用向后時步迭代的思想計算。對于解決靜力學問題時,需要人工阻尼。