[有限元知識(shí)] 幾種能量及能量平衡方程

2017-04-20 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

(1)虛功

在力學(xué)領(lǐng)域中,功是力和位移。虛功對(duì)應(yīng)的有兩種:虛位移和虛力。虛功和實(shí)際做的功之間差異在于當(dāng)力和位移呈線性關(guān)系時(shí),虛功為力*位移,而實(shí)際做的功為1/2*力*位移。

虛位移:可以是任何無(wú)限小的位移,它在結(jié)構(gòu)內(nèi)部必須是連續(xù)的,在結(jié)構(gòu)邊界上必須滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界,例如對(duì)于懸臂梁來(lái)說(shuō),在固定端處,虛位移及其斜率必須等于零。

虛力:所假設(shè)的應(yīng)力場(chǎng),在結(jié)構(gòu)內(nèi)部滿足力平衡方程,在相鄰單元的公共邊界上虛應(yīng)力是平衡的,但位移是不連續(xù)的。

(2)應(yīng)變能

在外力作用下,物體內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力{σ}和應(yīng)變{ε}。假定外力從0開(kāi)始逐漸增加的,應(yīng)力和應(yīng)變也將從0開(kāi)始逐漸增加的。在這個(gè)過(guò)程中,單位體積內(nèi)應(yīng)力所做的功稱為應(yīng)變能密度,為∫{σ}Td{ε}。在物體的整個(gè)體積內(nèi)積分,得到物體的應(yīng)變能。

(3)余應(yīng)變能

同應(yīng)變能相似的有余應(yīng)變能密度,為∫{ε}Td{σ}。在物體的整個(gè)體積內(nèi)積分,得到物體的余應(yīng)變能。

對(duì)比應(yīng)變能和余應(yīng)變能可以發(fā)現(xiàn),應(yīng)變能是以應(yīng)變作為主參數(shù),在下一步的平衡方程其確定的是剛度;余應(yīng)變能是以應(yīng)力作為主參數(shù),在下一步的平衡方程確定的是柔度。

(4)虛位移原理(勢(shì)能原理、虛功原理)

設(shè)結(jié)構(gòu)在荷載作用下處于平衡狀態(tài)。假定由于任何其他原因,使結(jié)構(gòu)從其平衡位置偏離一個(gè)任意微小的、為邊界約束條件所允許的虛位移(可以看作是真實(shí)位移的一個(gè)變分),荷載在虛位移上所作的虛功,將等于其內(nèi)部應(yīng)力在相應(yīng)應(yīng)變上所積累的虛變形勢(shì)能。故虛位移原理可表述為:彈性結(jié)構(gòu)平衡的必要與充分條件是,對(duì)于任意微小的虛位移,荷載所作的總虛功δW等于其內(nèi)部所積累的虛變形勢(shì)能δU。即δU-δW=0。

(4)最小勢(shì)能原理

設(shè)結(jié)構(gòu)在P力系作用下處于平衡。在某一可能虛位移過(guò)程中,與Pi力相應(yīng)的虛位移設(shè)為Δi,則由可能虛位移引起的荷載勢(shì)能變化為,將使結(jié)構(gòu)增加變形。

設(shè)由此引起的變形勢(shì)能的改變?yōu)棣腢,則結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能改變?chǔ)魔笨啥x為內(nèi)外兩種勢(shì)能變化之差,即。

但是,在這個(gè)虛位移中,荷載始終保持不變,因而П只是可能虛位移的函數(shù)。故此式可改寫成。

泛函 П=U-W代表結(jié)構(gòu)在虛位移中的總勢(shì)能。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時(shí),已知U=W,從而有δП=0,它說(shuō)明:在一切滿足邊界條件的虛位移中,同時(shí)滿足平衡條件的虛位移對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)勢(shì)能的一個(gè)駐值,這就是結(jié)構(gòu)勢(shì)能駐值原理。對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu),勢(shì)能的二階變分恒為正,因而使總勢(shì)能取最小值,所以這個(gè)原理又稱最小勢(shì)能原理。它意味著在所有滿足邊界條件的虛位移中,能使結(jié)構(gòu)勢(shì)能為最小的虛位移,滿足平衡條件,因而就是真實(shí)的位移。在這種情況下,結(jié)構(gòu)勢(shì)能的駐值條件等價(jià)于平衡條件。

(5)虛力原理(余能原理)

設(shè)結(jié)構(gòu)在荷載和支承位移影響下處于平衡狀態(tài)。在位移保持不變的情況下,若讓真實(shí)應(yīng)力σ發(fā)生微小改變?chǔ)摩?且使它們滿足平衡條件和應(yīng)力邊界條件(稱為可能虛應(yīng)力),則虛力原理可表述為:對(duì)一切可能虛應(yīng)力δσ而言,結(jié)構(gòu)滿足變形協(xié)調(diào)方程的必要和充分條件是,對(duì)于任意微小的可能虛應(yīng)力,其變形余能的一階變分δU*,等于位移邊界上的相應(yīng)邊界反力所作荷載余功的一階變分δW*,即。

(6)最小余能原理

結(jié)構(gòu)的余能變分可定義為

式中Ri、Ci分別為支承反力和相應(yīng)的支承位移。在可能應(yīng)力的變化過(guò)程中,應(yīng)變和位移均保持不變,因而此式可改寫為

泛函代表結(jié)構(gòu)的總余能,由余能原理,有δП*=0 。它說(shuō)明:在所有滿足平衡條件及邊界條件的應(yīng)力場(chǎng)中,同時(shí)滿足相容應(yīng)變場(chǎng)的應(yīng)力場(chǎng),對(duì)應(yīng)于余能的一個(gè)駐值,這就是余能駐值原理。對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu),因有,已知?jiǎng)菽?em>U的二階變分恒為正,故П*將取最小值,因而最小余能原理可表述為:在一切滿足平衡方程及邊界條件的應(yīng)力場(chǎng)中,真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)能使泛函П*成為最小。因而,余能的駐值條件等價(jià)于變形協(xié)調(diào)條件。

(7)小結(jié)

最小勢(shì)能原理和最小余能原理的基本區(qū)別在于:最小勢(shì)能原理對(duì)應(yīng)的是結(jié)構(gòu)的平衡條件,是以位移作為變量,而最小余能原理對(duì)應(yīng)的是結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件,是以力為變量。

注:

1. 為什么按最小勢(shì)能原理求的的位移近似解會(huì)小于位移精確解呢?

解答:按最小勢(shì)能原理求解時(shí),必須先假定單元位移函數(shù)。這些位移函數(shù)是連續(xù)的,但確實(shí)近似的,從物體中取出的一個(gè)單元,作為連續(xù)介質(zhì)的一部分,本來(lái)具有無(wú)限個(gè)自由度,在采用位移函數(shù)后,只有以節(jié)點(diǎn)位移表示的有限個(gè)自由度,位移函數(shù)對(duì)單元的變形能力有所限制,使單元的剛度增加了,物體的整體剛度也隨之增加,因此計(jì)算的位移近似解將小于精確解,具有下限性質(zhì)。

2. 為什么按最小余能原理求的的位移近似解會(huì)大于或等于位移精確解呢?

解答:按最小余能原理求解時(shí),在相鄰單元的公共邊界上,應(yīng)力是平衡的,但位移是不連續(xù)的,計(jì)算模型的變形能力增加了,比真實(shí)物體更柔,按最小余能原理計(jì)算的位移近似解將大于等于精確解,具有上限性質(zhì)。

參考資料:

1.朱伯芳,有限單元法原理與應(yīng)用(第三版),中國(guó)水利水電出版社&知識(shí)產(chǎn)權(quán)出版社,2009

2. 能量原理 http://www.hudong.com/wiki/能量原理

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