有限差分法、有限元法、有限體積法

2017-01-16 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

1 有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法,至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格,用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法,把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散,從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法,數(shù)學(xué)概念直觀,表達(dá)簡單,是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式,從格式的精度來劃分,有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮,可分為中心格式和逆風(fēng)格式?？紤]時(shí)間因子的影響,差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式,主要是上述幾種形式的組合,不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。

構(gòu)造差分的方法有多種形式,目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式:一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等,其中前兩種格式為一階計(jì)算精度,后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合,可以組合成不同的差分計(jì)算格式。

2 有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法,其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元,在每個(gè)單元內(nèi),選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn),將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式,借助于變分原理或加權(quán)余量法,將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式,便構(gòu)成不同的有限元方法。
在有限元方法中,把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元,在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù),用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解,整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的,則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。

根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同,有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法,從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來劃分,有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格,從插值函數(shù)的精度來劃分,又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。

對于權(quán)函數(shù),伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù);最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身,而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最小;在配置法中,先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn) 。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程,即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成,但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示,但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類,一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值,稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值;另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身,還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值,稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo),有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系,它的定義取決于單元的幾何形狀,一維看作長度比,二維看作面積比,三維看作體積比。在二維有限元中,三角形單元應(yīng)用的最早,近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元,常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。

對于有限元方法,其基本思路和解題步驟可歸納為(1)建立積分方程,根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理,建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式,這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。 (2)區(qū)域單元剖分,根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn),將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準(zhǔn)備工作,這部分工作量比較大,除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外,還要表示節(jié) 點(diǎn)的位置坐標(biāo),同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù),根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的,由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀,在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。(4)單元分析:將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近;再將近似函數(shù)代入積分方程,并對單元區(qū)域進(jìn)行積分,可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組,稱為單元有限元方程。(5)總體合成:在得出單元有限元方程之后,將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加,形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件,一般在積分表達(dá)式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件,需按一定法則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。(7)解有限元方程:根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉方程組,采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解,可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值

3 有限體積法(Finite Volume Method)又稱為控制體積法。其基本思路是:將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積,并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積;將待解的微分方程對每一個(gè)控制體積積分,便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分,必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律,即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來,有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法;從未知解的近似方法看來,有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之,子區(qū)域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解,并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義,就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理,如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程,要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足,對整個(gè)計(jì)算區(qū)域,自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。有一些離散方法,例如有限差分法,僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時(shí),離散方程才滿足積分守恒;而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下,也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言,有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律(既插值函數(shù)),并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值 ,這與有限差分法相類似;但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí),必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布,這又與有限單元法相類似。在有限體積法中,插值函數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分,得出離散方程之后,便可忘掉插值函數(shù);如果需要的話,可以對微分方程中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。

4 多重網(wǎng)格方法通過在疏密不同的網(wǎng)格層上進(jìn)行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量.具有收斂速度快,精度高等優(yōu)點(diǎn).多重網(wǎng)格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類,一類是頻率變化較緩慢的低頻分量;另一類是頻率高,擺動快的高頻分量。一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減,但對那些低頻分量,迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的,與網(wǎng)格尺度有關(guān),在細(xì)網(wǎng)格上被視為低頻的分量,在粗網(wǎng)格上可能為高頻分量。多重網(wǎng)格方法作為一種快速計(jì)算方法,迭代求解由偏微分方程組離散以后組成的代數(shù)方程組,其基本原理在于一定的網(wǎng)格最容易消除波長與網(wǎng)格步長相對應(yīng)的誤差分量。該方法采用不同尺度的網(wǎng)格,不同疏密的網(wǎng)格消除不同波長的誤差分量,首先在細(xì)網(wǎng)格上采用迭代法,當(dāng)收斂速度變緩慢時(shí)暗示誤差已經(jīng)光滑,則轉(zhuǎn)移到較粗的網(wǎng)格上消除與該層網(wǎng)格上相對應(yīng)的較易消除的那些誤差分量,這樣逐層進(jìn)行下去直到消除各種誤差分量,再逐層返回到細(xì)網(wǎng)格上。目前兩層網(wǎng)格方法從理論上已證明是收斂的,并且其收斂速度與網(wǎng)格尺度無關(guān)。多重網(wǎng)格法是迭代法與粗網(wǎng)格修正的組合,經(jīng)過證明迭代法可迅速地將那些高頻分量去掉,粗網(wǎng)格修正則可以幫助消除那些光滑了的低頻分量,而對那些高頻分量基本不起作用?？蒲兄袊鳶ciEi.com在多重網(wǎng)格計(jì)算中,需要一些媒介把細(xì)網(wǎng)格上的信息傳遞到粗網(wǎng)格上去,同時(shí)還需要一些媒介把粗網(wǎng)格上的信息傳遞到細(xì)網(wǎng)格上去。限制算子Iih(i-1)h是把細(xì)網(wǎng)格i-1層上的殘余限制到粗網(wǎng)格i層上的算子,最簡單的算子是平凡單射,另外還有特殊加權(quán)限制;插值算子Iih(i-1)h是把粗網(wǎng)格i層上的結(jié)果插值到細(xì)網(wǎng)格i-1層上的算子,一般采用線性插值或完全加權(quán)限制算子。

5 近似求解的誤差估計(jì)辦法共有三大類:單元余量法,通量投射法及外推法.單元余量法廣泛地用于以FEM離散的誤差估計(jì)之中,它主要是估計(jì)精確算子的余量,而不是整套控制方程的全局誤差.這樣就必須假定周圍的單元誤差并不相互耦合,誤差計(jì)算采用逐節(jié)點(diǎn)算法進(jìn)行.單元余量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法.基于此,該方法能夠有效處理局部的殘余量,并能成功地用于網(wǎng)格優(yōu)化程序.通量投射法的基本原理來自一個(gè)很簡單的事實(shí):精確求解偏微分方程不可能有不連續(xù)的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續(xù),這樣產(chǎn)生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統(tǒng)的光滑求解與不光滑求解之差.該方法與單元余量法一樣,對節(jié)點(diǎn)誤差采用能量范數(shù),故也能成功地用于網(wǎng)格優(yōu)化程序.單元余量法及通量投射法都局限于局部的誤差計(jì)算(采用能量范數(shù)),誤差方程的全局特性沒有考慮.另外計(jì)算的可行性(指誤差估計(jì)方程的計(jì)算時(shí)間應(yīng)小于近似求解計(jì)算時(shí)間)不能在這兩種方法中體現(xiàn),因?yàn)楂@得的誤差方程數(shù)量,階數(shù)與流場控制方程相同.外推法是指采用后向數(shù)值誤差估計(jì)思想由精確解推出近似解的誤差值.各類文獻(xiàn)中較多地采用Richardson外推方法來估計(jì)截?cái)嗾`差.無論是低階還是高階格式,隨著網(wǎng)格的加密數(shù)值計(jì)算結(jié)果都會趨近于準(zhǔn)確解.但由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存與計(jì)算時(shí)間的限制,實(shí)際上不能采用這種網(wǎng)格無限加密的辦法.由Richardson所發(fā)展起來的外推方法,可以利用在不同疏密網(wǎng)格上得出的結(jié)果估計(jì)相應(yīng)的收斂解,可以估計(jì)所用離散方法截?cái)嗾`差的階數(shù),可以估計(jì)所得數(shù)值計(jì)算的截?cái)嗾`差.該方法有很大的局限性,不能簡單地用于復(fù)雜湍流流動;并且在數(shù)值計(jì)算中數(shù)值解必須單調(diào)地趨近于其收斂值.而文獻(xiàn)提出的單網(wǎng)格后向誤差估計(jì)思想,在采用有限元法FEM,有限容積法FVM時(shí)均有應(yīng)用,并且還用于網(wǎng)格優(yōu)化程序,但該方法也不能用于復(fù)雜湍流流動的數(shù)值分析.

6 近年來發(fā)展的多尺度計(jì)算方法包括均勻化方法[9-11]、非均勻化多尺度方法[12-15]、以及小波數(shù)值均勻化方法[16]、多尺度有限體積法[17]、多尺度有限元法[1]等。

均勻化方法是一種多尺度分析的方法。該方法通過對單胞問題的求解,把細(xì)觀尺度的信息映射到宏觀尺度上,從而推導(dǎo)出宏觀尺度上的均勻化等式,即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學(xué)和工程應(yīng)用中取得了巨大成功,但這種方法建立在系數(shù)細(xì)觀結(jié)構(gòu)周期性假設(shè)的基礎(chǔ)上,因此應(yīng)用范圍受到了很大限制。
鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法,是構(gòu)造多尺度計(jì)算方法的一般框架。該方法有兩個(gè)重要的組成部分:基于宏觀變量的整體宏觀格式和由微觀模型來估計(jì)缺少的宏觀數(shù)據(jù),多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

小波數(shù)值均勻化方法是由Dorbonuat、Enguqist提出的求解橢圓型方程的新型方法。該方法基于多分辨分析,在細(xì)尺度上建立原方程的離散算子,然后對離散算子進(jìn)行小波變換,得到了大尺度上的數(shù)值均勻化算子。此方法在大尺度上解方程,大大地減小了計(jì)算時(shí)間。

多尺度有限元方法是由Babuska[1]等提出的。該法在宏觀尺度上進(jìn)行網(wǎng)格剖分,然后通過在每個(gè)單元里求解細(xì)觀尺度的方程(構(gòu)造線性或者振蕩的邊界條件)來獲得基函數(shù)。從而把細(xì)觀尺度的信息反應(yīng)到有限元法的基函數(shù)里,使宏觀尺度的解包含了細(xì)觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構(gòu)造基函數(shù)時(shí)需要較大的計(jì)算量。