CFD中的高階精度是不是扯淡

2017-08-12 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

(本文對英文原文適當(dāng)概括)

先看高等數(shù)學(xué)對面積分的定義...,如圖:

(不要看文字...不要被各種專業(yè)名詞繞進去,其實很好理解)

他的意思就是說,對f在面S上的面積分等于n個面微元的大小乘以對應(yīng)的n個f的值之和 (最后的公式)。

以上來自高等數(shù)學(xué)同濟版下冊

然后看CFD中的面積分(下面的公式和上面的一個道理):

為了準(zhǔn)確的計算上述方程表示的面積分,需要知道每個面上的f值。當(dāng)然我們不知道每個面的f值,因此我們引入了各種插值方法。這涉及到2種插值:

先看第一條:最簡單的當(dāng)然是中點(midpoint)規(guī)則。它認(rèn)為積分等于f在面心的值和面積大小的乘積(即高等數(shù)學(xué)的公式中i=1,面微元就是整個面,f的值為f的面心值)。中點規(guī)則為二階精度的。

當(dāng)然我們可以達到更高的精度,比如如果采用辛普森(Simpson)規(guī)則,我們的面積分這樣計算:

就是說,k=4。我們使用了4個點來計算這個面積分(中點規(guī)則使用了1個點)。

再看第二條:從體心插值到面心大家都很熟悉,就是迎風(fēng)、中心、QUICK等格式。具有不同的精度。

如果我們針對第一條使用了中點規(guī)則達到了二階精度,那么我們對面心f的值進行插值的時候也要至少保留二階精度。

如果我們針對第一條使用了辛普森規(guī)則達到了四階精度,那么我們對面心f的值進行插值的時候也要至少保留四階精度(比如Cubic格式)。

不難理解,如果在從“體心插值到面心”的這個過程調(diào)用了高階精度格式,比如調(diào)用了三階精度的QUICK格式,那么我們在第一條就至少調(diào)用三階精度的面積分規(guī)則。舉例:

二階精度的中點規(guī)則+三階精度的QUICK格式=二階精度。

四階精度的辛普森規(guī)則+三階精度的QUICK格式=三階精度。

因此,只有在面積分調(diào)用高階精度的時候,插值的高階精度才有意義。

然而CFD中通常使用二階精度的中點規(guī)則,這是不是就意味著高階精度就是鬼扯...

下面我們請出Henry!看看他怎么說:

OpenFOAM使用的就是中點規(guī)則,因此不管你怎么插值,規(guī)則網(wǎng)格上的體積分都是二階精度。但是,對流項還是使用高階格式好一點。當(dāng)然了你可以使用高階精度的面積分,但我覺得沒必要?；蛘?可以使用FDM,如果守恒不是很重要的話。

Computational Methods for Fluid dynamics 3rd Edition. Chapter 4.

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