干貨 | 計算流體力學常用的五大類數值方法

2017-07-31 by:CAE仿真在線來源:互聯網

流體力學數值方法有很多種,其數學原理各不相同,但有二點是所有方法都具備的,即離散化和代數化?？偟膩碚f其基本思想是:將原來連續(xù)的求解區(qū)域劃分成網格或單元子區(qū)域,在其中設置有限個離散點(稱為節(jié)點),將求解區(qū)域中的連續(xù)函數離散為這些節(jié)點上的函數值;通過某種數學原理,將作為控制方程的偏微分方程轉化為聯系節(jié)點上待求函數值之間關系的代數方程(離散方程),求解所建立起來的代表方程以獲得求解函數的節(jié)點值。

不同的數值方法,其主要區(qū)別在于求解區(qū)域的離散方式和控制方程的離散方式上。在流體力學數值方法中,應用比較廣泛的是有限差分法、有限元法、邊界元法、有限體積法和有限分析法,現簡述如下。

有限差分法

這是最早采用的數值方法,它是將求解區(qū)域劃分為矩形或正交曲線網格,在網格線交點(即節(jié)點)上,將控制方程中的每一個微商用差商來代替,從而將連續(xù)函數的微分方程離散為網格節(jié)點上定義的差分方程,每個方程中包含了本節(jié)點及其附近一些節(jié)點上的待求函數值,通過求解這些代數方程就可獲得所需的數值解。

有限差分法的優(yōu)點是它建立在經典的數學逼近理論的基礎上,容易為人們理解和接受;有限差分法的主要缺點是對于復雜流體區(qū)域的邊界形狀處理不方便,處理得不好將影響計算精度。

有限元法

有限元法的基本原理是把適定的微分問題的解域進行離散化,將其剖分成相連結又互不重疊的具有一定規(guī)則幾何形狀的有限個子區(qū)域(如:在二維問題中可以劃分為三角形或四邊形;在三維問題中可以劃分為四面體或六面體等),這些子區(qū)域稱之為單元,單元之間以節(jié)點相聯結。函數值被定義在節(jié)點上,在單元中選擇基函數(又稱插值函數),以節(jié)點函數值與基函數的乘積的線性組合成單元的近似解來逼近單元中的真解。

利用古典變分方法(里茲法或伽遼金法)由單元分析建立單元的有限元方程,然后組合成總體有限元方程,考慮邊界條件后進而求解。由于單元的幾何形狀是規(guī)則的,因此在單元上構造基函數可以遵循相同的法則,每個單元的有限元方程都具有相同的形式,可以用標準化的格式表示,其求解步驟也就變得很規(guī)范,即使是求解域剖分各單元的尺寸大小不一樣,其求解步驟也不用改變,這就為利用計算機編制通用程序進行求解帶來了方便。

有限元法的主要優(yōu)點是對于求解區(qū)域的單元剖分沒有特別的限制,因此特別適合處理具有復雜邊界流場的區(qū)域。

邊界元法

邊界元法是在經典積分方程和有限元法基礎上發(fā)展起來的求解微分方程的數值方法,其基本思想是:將微分方程相應的基本解作為權函數,應用加權余量法并應用格林函數導出聯系解域中待求函數值與邊界上的函數值與法向導數值之間關系的積分方程;令積分方程在邊界上成立,獲得邊界積分方程,該方程表述了函數值和法向導數值在邊界上的積分關系,而在這些邊界值中,一部份是在邊界條件中給定的,另一部份是待求的未知量,邊界元法就是以邊界積分方程作為求解的出發(fā)點,求出邊界上的未知量;在所導出的邊界積分方程基礎上利用有限元的離散化思想,把邊界離散化,建立邊界元代數方程組,求解后可獲得邊界上全部節(jié)點的函數值和法向導數值;將全部邊界值代入積分方程中,即可獲得內點函數值的計算表達式,它可以表示成邊界節(jié)點值的線性組合。

邊界元法的優(yōu)點是:

(1) 將全解域的計算化為解域邊界上的計算,使求解問題的維數降低了一維,減少了計算工作量;

(2) 能夠方便地處理無界區(qū)域問題。例如對于勢流等的無限區(qū)域問題,使用邊界元法求解時由于基本解滿足無窮遠處邊界條件,在無窮遠處邊界上的積分恒等于零。因此對于無限區(qū)域問題,例如具有無窮遠邊界的勢流問題,無需確定外邊界,只需在內邊界上進行離散即可;

(3) 邊界元法的精度一般高于有限元法。邊界元法的主要缺點是邊界元方程組的系數矩陣是不對稱的滿陣,該方法目前只適用于線性問題。

有限體積法

有限體積法又稱為控制體積法,其導出離散方程的基本思路是:

(1)將計算區(qū)域劃分為一系列不重復的控制體積,每一個控制體積都有一個節(jié)點作代表,將待求的守恒型微分方程在任一控制體積及一定時間間隔內對空間與時間作積分;

(2)對待求函數及其導數對時間及空間的變化型線或插值方式作出假設;

(3)對步驟1中各項按選定的型線作出積分并整理成一組關于節(jié)點上未知量的離散方程。有限體積法著重從物理觀點來構造離散方程,每一個離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式,推導過程物理概念清晰,離散方程系數具有一定的物理意義,并可保證離散方程具有守恒特性,這是有限體積法的主要優(yōu)點。

就離散方法而言,有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物,該方法的主要缺點是不便對離散方程進行數學特性分析。

有限分析法

有限分析法在某種意義上說是在有限元法基礎上發(fā)展起來的一種數值方法,其基本思想是:將求解區(qū)域劃分成矩形網格,網格線的交點為計算節(jié)點,每個節(jié)點與相鄰的四個網格組成一個計算單元,即一個計算單元由一個中心節(jié)點與8個相鄰節(jié)點組成;在每個單元中函數的近似解不是象有限元方法那樣采用單元基函數的線性組合來表達,而是以單元中未知函數的分析解來表達;為了獲得單元中的分析解,單元邊界條件采用插值函數來逼近,在單元中把控制方程中非線性項局部線性化(如N-S方程中的對流項中認為其流速為已知,并對單元中待求函數的組合形式作出假設,找出其系數用單元邊界節(jié)點上待求函數值表達的分析解;利用單元分析解確定單元中心節(jié)點與8個相鄰節(jié)點間待求函數值之間關系的一個代數方程,稱為單元有限分析方程;將所有內點上的單元有限分析方程聯立,就構成總體有限分析方程,通過代數方程組求解,即可獲得求解區(qū)域中全部離散點的函數值。

雖然有限分析解獲得的是求解區(qū)域中離散點的函數值,但是由于每個單元內部都有與其中心節(jié)點對應的分析解表達式,因此有限分析解在每一個節(jié)點的局部區(qū)域內都是連續(xù)可微的,這對于需要計算求解函數導數的計算流體力學問題具有明顯的優(yōu)勢。

該計算方法與有限元、有限差分法比較具有較高的精度。此外,有限分析法具有自動迎風特性,能準確地模擬對流項,同時不存在數值振蕩失真問題。有限分析法的缺點是對復雜形狀的求解區(qū)域適應性較差。

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