有限差分法

  一種求偏微分(或常微分)方程和方程組定解問題的數(shù)值解的方法,簡稱差分方法。

  微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區(qū)域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時(shí)間有關(guān),在初始時(shí)刻所要滿足的定解條件,稱為初值條件。不含時(shí)間而只帶邊值條件的定解問題,稱為邊值問題。與時(shí)間有關(guān)而只帶初值條件的定解問題,稱為初值問題。同時(shí)帶有兩種定解條件的問題,稱為初值邊值混合問題。

  定解問題往往不具有解析解,或者其解析解不易計(jì)算。所以要采用可行的數(shù)值解法。有限差分方法就是一種數(shù)值解法,它的基本思想是先把問題的定義域進(jìn)行網(wǎng)格剖分,然后在網(wǎng)格點(diǎn)上,按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式把定解問題中的微商換成差商,從而把原問題離散化為差分格式,進(jìn)而求出數(shù)值解。此外,還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數(shù)值穩(wěn)定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計(jì)、差分格式的解當(dāng)網(wǎng)格大小趨于零時(shí)是否趨于真解(即收斂性),等等。

  有限差分方法具有簡單、靈活以及通用性強(qiáng)等特點(diǎn),容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

偏微分方程初值問題的差分法 許多物理現(xiàn)象隨著時(shí)間而發(fā)生變化、如熱傳導(dǎo)過程、氣體擴(kuò)散過程和波的傳播過程都與時(shí)間有關(guān)。描述這些過程的偏微分方程具有這樣的性質(zhì):若初始時(shí)刻t=t0的解已給定,則t>t0時(shí)刻的解完全取決于初始條件和某些邊界條件。利用差分法解這類問題,就是從初始值出發(fā),通過差分格式沿時(shí)間增加的方向,逐步求出微分方程的近似解。

偏微分方程邊值問題的差分法 物理上的定常問題,如彈性力學(xué)中的平衡問題,亞聲速流、不可壓粘性流、電磁場及引力場等可歸結(jié)為橢圓型方程。其定解問題為各種邊值問題,即要求解在某個(gè)區(qū)域D內(nèi)滿足微分方程,在邊界上滿足給定的邊界條件。橢圓型方程的差分解法可歸結(jié)為選取合理的差分網(wǎng)格,建立差分格式,求解代數(shù)方程組以及考察差分格式的收斂性等問題。

差分方法的發(fā)展和應(yīng)用 前面闡述了兩個(gè)自變量,線性方程的差分法。實(shí)際問題常會遇到多個(gè)自變量,非線性的方程或方程組;它們還可能是混合型的偏微分方程(如機(jī)翼的跨聲速繞流),其解包含著各種間斷(如激波間斷、按觸間斷等)。非線性問題的差分法求解是十分困難的。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展,在解決各種非線性問題中,差分法得到了很快的發(fā)展,并且出現(xiàn)了許多新的思想和方法,如守恒差分格式,時(shí)間相關(guān)法、分步法等。

有限差分方法已成為解各類數(shù)學(xué)物理問題的主要數(shù)值方法,也是計(jì)算力學(xué)中的主要數(shù)值方法之一。有些解偏微分問題的方法(如特征線法、直線法)實(shí)質(zhì)上也是差分方法的一種形式。在固體力學(xué)中,有限元方法出現(xiàn)以前,主要采取差分方法;在流體力學(xué)中,差分方法仍然是主要的數(shù)值方法。當(dāng)然,對于某些具有復(fù)雜的幾何形狀及復(fù)雜的流動現(xiàn)象的實(shí)際問題,差分方法還有待進(jìn)一步發(fā)展。

  參考書目

 馮康等編:《數(shù)值計(jì)算方法》,國防工業(yè)出版社,北京,1978。

 胡祖熾編:《計(jì)算方法》,高等教育出版社,北京,1959。

 清華大學(xué)、北京大學(xué)《計(jì)算方法》編寫組編:《計(jì)算方法》,科學(xué)出版社,北京,1980。

 朱幼蘭等著:《初邊值問題差分法及繞流》,科學(xué)出版社,北京,1980。

 R.D.里奇特邁爾著,何旭初等譯:《初值問題差分方法》,科學(xué)出版社,北京,1966。(R.D.Richtmyer,Difference Methods for Initial-Value Problems, Interscience Pub., New York,1957.)

 R.D.Richtmyer, K.W.Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd ed.,Interscience Pub.,New York,1967.