材料力學(xué)知識總結(jié)-有限元基礎(chǔ)知識

2017-04-27 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

我們知道,理論力學(xué)以質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)系和剛體為研究對象。對于機(jī)械而言,它尤其是以剛體作為研究對象,我們在上理論力學(xué)時,最關(guān)注的也是剛體。而材料力學(xué)則關(guān)注的是變形固體。這就是說,在理論力學(xué)中,物體受力后,會產(chǎn)生加速度;而在材料力學(xué)中,物體受力后,發(fā)生的是變形。材料力學(xué)主要研究的是變形的問題。

但是材料力學(xué)并不研究所有對象的變形。

對于流體的變形它是不研究的(研究流體變形和運(yùn)動的學(xué)科是流體力學(xué)),它只研究固體的變形。而固體多種多樣,例如我們手中的鉛筆,是固體,它的長度尺寸遠(yuǎn)大于截面尺寸,我們稱之為桿件,材料力學(xué)就研究這種桿件的變形;再如我們寫字的桌面,它的長度和寬度遠(yuǎn)大于其厚度,這種固體我們稱為板殼。我們設(shè)想一下,當(dāng)我們突然敲一下桌面時,如果用力過大而桌子已經(jīng)年逾古稀的話,桌面也會出現(xiàn)裂痕。研究與桌面類似的固體的變形的學(xué)科,是板殼力學(xué);再看看我們手邊的文具盒,其外殼的力學(xué)研究,就屬于板殼力學(xué)的范圍;而連接上殼與下底的那兩根銷軸的變形,則屬于材料力學(xué)的研究范疇。除了桿件和板殼以外,還有我們文具盒中的橡皮,當(dāng)我們在用橡皮擦使勁地擦除練習(xí)本上錯誤的地方時,我們明顯的看到橡皮發(fā)生了變形。那么,有什么學(xué)科來計(jì)算橡皮的變形呢?一般的橡皮是塊狀的,其三個方向的尺寸相差不大,我們稱之為塊體。研究它的變形規(guī)律,是固體力學(xué)的研究范疇。

總之,材料力學(xué)只研究桿件的變形問題,也就是那種類似鉛筆的細(xì)長構(gòu)件的變形問題。

那么,對于桿件的變形,有什么可以研究的呢?

實(shí)際上,我們是從工程的觀點(diǎn)來研究桿件的。在工程上,例如軸,連桿,圓柱銷,螺栓這種細(xì)長桿件,在使用過程中會發(fā)生失效。最常見的三種失效就是:斷裂或屈服,彈性變形過大,以及產(chǎn)生了壓桿失穩(wěn)。這些問題都會導(dǎo)致零件的失效。所以材料力學(xué)就想弄清楚,為什么會發(fā)生這三種最主要的失效?如何去避免它們?我們在設(shè)計(jì)一根桿件的時候,如何保證它不失效呢?

上述三個問題,就是所謂的強(qiáng)度,剛度,穩(wěn)定性三大問題,這就是材料力學(xué)最關(guān)注的材料的三種性能。

總而言之,材料力學(xué)以桿件為研究對象,研究材料的強(qiáng)度,剛度和穩(wěn)定性三大問題,希望研究完以后,我們大家能夠設(shè)計(jì)出強(qiáng)度合格,剛度足夠,穩(wěn)定性良好的桿件。而且,我們還希望,設(shè)計(jì)出的桿件還很節(jié)省材料。這就是說,設(shè)計(jì)的桿件既經(jīng)濟(jì)又安全。

這樣,當(dāng)我們學(xué)習(xí)完材料力學(xué)以后,對于機(jī)械中常見的軸,連桿,螺栓,圓柱銷,機(jī)床的支架等細(xì)長構(gòu)件,我們應(yīng)該可以確定其合理的截面形狀及其尺寸了。這是我們學(xué)習(xí)完材料力學(xué)后的終極目的。

強(qiáng)度問題最重要

總體上說,有三種強(qiáng)度問題。

第一種,載荷緩慢的施加到桿件上,考察桿件是否會斷裂或者屈服。例如,我們一動不動的站立在地面上,這個時候,我們的大腿骨和小腿骨都是二力桿,處于壓縮狀態(tài)。我們整個上身的重量通過左右兩腿的腿骨的傳遞,最后壓到了地面。這個時候,大腿骨也好,小腿骨也罷,其中任何一點(diǎn)的應(yīng)力都是不會隨著時間而改變的,這是靜應(yīng)力。

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第二種,如果我們覺得久站不舒服,開始往寢室門走一步,現(xiàn)在我們考慮一只腳落地的過程。當(dāng)這只腳在空中時,小腿骨仍舊是二力桿,它在上方被大腿骨懸掛著,而下方則掛著柔軟的腳和笨重的旅游鞋,所以它處于被拉伸狀態(tài)。當(dāng)腳剛著地直到完全著地時,小腿骨由拉伸狀態(tài)漸漸變?yōu)閴嚎s狀態(tài),其中每個點(diǎn)的應(yīng)力也由拉應(yīng)力變化成壓應(yīng)力,而且是越來越大。顯然,此時,每個點(diǎn)的應(yīng)力并不是一個常數(shù),而是一個變化的過程,這種應(yīng)力我們稱為動應(yīng)力,地面通過腳給我們小腿施加的載荷,我們稱為動載荷。如果我們是在奔跑而非簡單的走路的話,那么我們腳部著地的時間很快,就構(gòu)成了沖擊。此時地面通過腳部給我們小腿的力,我們稱為沖擊載荷。

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第三種,我們持續(xù)的往前走,比如說離開寢室,走到陽光雨露下去仰望我們學(xué)校意義深遠(yuǎn)的標(biāo)志物。我們小腿骨中任意一個點(diǎn)的應(yīng)力就在周而復(fù)始的被拉伸,被壓縮,被拉伸,被壓縮。而且其最大壓應(yīng)力顯然要大于最大拉應(yīng)力。這樣,每個點(diǎn)的應(yīng)力就呈現(xiàn)周期性地改變。我們繼續(xù)往前走,例如從常青校區(qū)走到金銀湖校區(qū),這有十里吧?當(dāng)走下馬池橋時,我們的腿部可能開始發(fā)酸,我們感覺是疲勞了。實(shí)際上,這個時候,腿骨的強(qiáng)度問題,就成為所謂的疲勞強(qiáng)度問題?？梢韵胂?腿骨的這種疲勞強(qiáng)度應(yīng)該要遠(yuǎn)小于當(dāng)我們安靜站立時它的靜強(qiáng)度。

所以,有三種強(qiáng)度問題,一種是靜強(qiáng)度,第二種是動強(qiáng)度,第三種是疲勞強(qiáng)度。疲勞強(qiáng)度實(shí)際上也屬于動應(yīng)力問題,只是此時由于動應(yīng)力的反復(fù)循環(huán),導(dǎo)致它可以承受的極限應(yīng)力降低了。

在實(shí)際問題中,構(gòu)件可能會因?yàn)殪o載荷過大而斷裂,也可能因?yàn)闆_擊載荷過大而斷裂,還可能因?yàn)槠诙鴶嗔?。所以材料力學(xué)分別闡述了這三種強(qiáng)度問題。我們在上課時最關(guān)注的是靜強(qiáng)度問題,它實(shí)際上也是后面兩種強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)。

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那么,我們現(xiàn)在聚焦于靜強(qiáng)度問題。至于動載荷和疲勞強(qiáng)度問題,就不仔細(xì)闡述了。

靜強(qiáng)度問題是基于變形形式來分類研究的。桿件的變形包括基本變形和組合變形兩類。而基本變形包括拉伸壓縮,剪切擠壓,扭轉(zhuǎn),彎曲這四種最基本的變形;組合變形無非是上述基本變形的組合而已。

對于每一種基本變形,我們的研究目的,都是為了找到桿件上最危險點(diǎn)的應(yīng)力,然后把此應(yīng)力與允許應(yīng)力相比較,從而來進(jìn)行設(shè)計(jì)或者校核。

簡單變形的強(qiáng)度問題,總是分為四個步驟:

第一步,計(jì)算出整根構(gòu)件的外力。這就是外力分析。外力分析實(shí)際上是理論力學(xué)的靜力學(xué)部分,它要求對一個平衡狀態(tài)的桿件,基于其受力平衡而計(jì)算出桿件的約束力。

第二步,計(jì)算出整根桿件的內(nèi)力。我們基于截面法,計(jì)算出桿件上每個截面的內(nèi)力,從而繪制出內(nèi)力圖。對于拉伸,是軸力圖;對于扭轉(zhuǎn),是扭矩圖;對于彎曲,是剪力圖和彎矩圖。而剪切,因?yàn)橹挥幸粋€截面,談不上畫內(nèi)力圖的問題。繪制內(nèi)力圖后,我們從圖形上,可以非常直觀的看到內(nèi)力在截面上如何分布的,從而可以看到那些內(nèi)力較大的截面在哪里,這些截面就是危險截面。繪制內(nèi)力圖的終極目的,就是為了找到危險截面。

第三步,找到危險截面上的危險點(diǎn),并計(jì)算出其危險應(yīng)力。在一個危險截面上,哪些點(diǎn)應(yīng)力最大呢?它們就是我們最關(guān)心的,因?yàn)闃?gòu)件的斷裂或者屈服就是從這些點(diǎn)開始的。在材料力學(xué)中,我們花費(fèi)了大量精力進(jìn)行應(yīng)力公式的推導(dǎo),就是為了做這件事情。雖然推導(dǎo)的過程比較冗長,但結(jié)論卻相當(dāng)簡單,就是幾個應(yīng)力的公式。從這些公式我們最終知道,對于拉伸壓縮而言,在其橫截面上只有正應(yīng)力,而且均勻分布;對于剪切而言,橫截面上只有切應(yīng)力,近似看做均勻分布;對于圓周扭轉(zhuǎn)而言,橫截面上只有切應(yīng)力。軸心上沒有應(yīng)力,而越往邊沿,應(yīng)力越來越大;對于橫力彎曲而言;截面上同時存在正應(yīng)力和切應(yīng)力;從中性軸開始,正應(yīng)力往兩邊越來越大,而切應(yīng)力往兩邊越來越小。基于這些公式,我們就找到了危險點(diǎn),并可以根據(jù)該截面的內(nèi)力計(jì)算出危險點(diǎn)的應(yīng)力。

第四步,就是強(qiáng)度設(shè)計(jì)或者校核。當(dāng)找危險點(diǎn)的應(yīng)力后,這就意味著,對于這整根桿件而已,某幾個應(yīng)力最危險,只要這幾個點(diǎn)的應(yīng)力不超過材料所能夠承受的極限的話,那么這根桿件在使用過程中就不發(fā)生靜強(qiáng)度問題。這一步通常只是比較危險應(yīng)力與許用應(yīng)力,所以相對簡單。

在上述四步中,第二步最麻煩,它要繪制內(nèi)力圖。尤其是彎曲問題,繪制內(nèi)力圖是每年期末考試的必考內(nèi)容。如何根據(jù)外力圖迅速繪制出剪力圖和彎矩圖,既需要技巧,也需要反復(fù)操練,以至于純熟的地步。而第三步只是代現(xiàn)成的應(yīng)力公式,此時我們需要的只是記住公式,并理解公式的含義;至于第四步,一個很簡單的不等式而已,小學(xué)生都會的。至于第一步,計(jì)算外力,那就屬于理論力學(xué)的內(nèi)容。

組合變形問題。

組合變形,聽起來并不復(fù)雜,無非是簡單變形的疊加而言。但是一旦疊加以后,卻出現(xiàn)了一種似乎質(zhì)的改變。我們大家可以發(fā)現(xiàn),書本上在出現(xiàn)組合變形這一章之前,插入了一章,談所謂的應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論。我們是否會覺得這很奇怪呢?我發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生,即便在學(xué)習(xí)完應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論以后,仍舊是迷迷糊糊的,他們不明白,好好的,怎么突然插入這一章?好像是打斷了我們的思路。

那么到底為什么會插入這一章呢?而這一章到底想做什么呢?

實(shí)際上,在我們談簡單變形的時候,我們都是取的橫截面方向在計(jì)算應(yīng)力。但是,我們是否想過,如果我們并非取橫截面,而是稍微把截面轉(zhuǎn)一個角度的話,此時該方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力,仍舊與橫截面方向上的正應(yīng)力或切應(yīng)力相等嗎?

這是什么意思呢?

這就是說,任何一個點(diǎn),當(dāng)選取截面方向不同的時候,該方向的正應(yīng)力和切應(yīng)力是在改變的。也就是說,每個點(diǎn)的應(yīng)力都是其方向的函數(shù)。

這就意味著,對于我們找到的危險點(diǎn),所計(jì)算的危險應(yīng)力,它只是危險點(diǎn)在橫截面方向上的應(yīng)力而已,我們怎么知道,在該危險點(diǎn)的其它方向上,應(yīng)力一定會小于橫截面方向上的應(yīng)力呢?如果在其它方向上,應(yīng)力大于橫截面方向的應(yīng)力,那么,即便該危險點(diǎn)橫截面方向應(yīng)力沒有超過許用應(yīng)力,但是在該點(diǎn)其它方向的應(yīng)力也可能會超過許用應(yīng)力,此時構(gòu)件也仍舊可能斷裂或者屈服。換一句話說,我們前面對于簡單變形強(qiáng)度計(jì)算的四個步驟是有問題的。也就是說,在(第四步,就是強(qiáng)度設(shè)計(jì)或者校核)之前,還應(yīng)該插入一步:危險方位的分析。

所以,嚴(yán)格的強(qiáng)度分析,應(yīng)該包括五個步驟:

外力分析以求支反力
內(nèi)力分析以確定危險截面
危險點(diǎn)分析以確定危險截面上的危險點(diǎn)及其在橫截面方向的應(yīng)力
危險方位分析以確定危險點(diǎn)在各個方位的應(yīng)力,從而確定主應(yīng)力
使用強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)或校核

那么,現(xiàn)在有兩個問題:

第一,為什么我們在簡單變形中并沒有危險方位的分析這一步呢?答案是:對于簡單變形,橫截面方位就是危險方位。(總體上如此,但并不完全正確。為什么?)所以這一步給略去了。

第二,為什么只是在組合變形之前,我們才突然談到危險方位的分析這一步呢?答案是,組合變形,尤其是彎扭組合變形,橫截面方位已經(jīng)不再是危險方位,危險方位總是出現(xiàn)在其它方位上,所以此時,這個問題已經(jīng)無法回避,必須被提上日程。這就是為什么書本在組合變形前不得不插入應(yīng)力狀態(tài)及強(qiáng)度理論這一章的原因所在。

所以,相對于簡單變形而言,組合變形只是在危險點(diǎn)分析之后加入了一個危險方位分析而已。實(shí)際上,現(xiàn)在形成的五個步驟是強(qiáng)度問題的普遍適用步驟。只是對于簡單變形而言,由于橫截面方位基本上是危險方位,就省略了這一步驟而已。

剛度問題

剛度問題就是要計(jì)算桿件受力后的變形。

計(jì)算變形總體上有三種方法:積分法,疊加法和能量法。這三種方法對于拉伸壓縮,扭轉(zhuǎn),彎曲都是適用的。

積分法。它先取出一個微元,計(jì)算該微元的變形,積分以得到整根桿件的變形。對于拉伸壓縮,扭轉(zhuǎn)而言,由于在某一段截面內(nèi),內(nèi)力一般是常數(shù),所以公式的結(jié)果相對簡單;但是對于彎曲而言,由于每一段截面的彎矩一般都是在改變的,所以積分過程就弄得很復(fù)雜,需要代入邊界條件才能完全確定每一截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

疊加法。實(shí)際上是借用了積分法的結(jié)果。首先用積分法給出某種典型梁在典型載荷下的變形;然后對于實(shí)際的復(fù)雜載荷,就把它分解成為多種簡單載荷作用下的變形,對每一種簡單載荷下的變形,只需要查表,然后累加就可以得到所求點(diǎn)的變形結(jié)果。

能量法。能量法基于功能原理,外力做的功轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)所儲存的變性能。由此發(fā)展出四種方法:直接的功能原理,互等定理,卡式定理,單位載荷法。其細(xì)節(jié)不再贅述。

穩(wěn)定性問題

壓桿失穩(wěn)是一種特殊的失效形式。該章的核心就是臨界應(yīng)力總圖,所有的計(jì)算都以這張圖為依據(jù)。

對于壓桿穩(wěn)定問題而言,其求解的思路是機(jī)械而簡單的:

計(jì)算桿件自身的柔度和兩個臨界柔度值。
比較桿件的柔度和兩個臨界柔度值的關(guān)系,從而明白該桿是大柔度桿,中柔度桿,還是小柔度桿。
基于第二步比較的結(jié)果,使用不同的臨界應(yīng)力公式,計(jì)算出臨界應(yīng)力,乘以桿件的橫截面積就是臨界載荷。
用該臨界載荷比上實(shí)際的工作載荷就是桿件現(xiàn)在的穩(wěn)定系數(shù),把該系數(shù)與允許的穩(wěn)定系數(shù)相比較,如果超過允許的系數(shù),就安全。

超靜定問題

在理論力學(xué)中我們就說過靜定與超靜定的概念。我們說,一根桿件,如果其未知外力的數(shù)目超過了獨(dú)立的靜力學(xué)平衡方程數(shù)目,那么該桿件的外力就不能用靜力學(xué)的方程全部解出,此時該問題就是超靜定問題。

為什么在材料力學(xué)的最后,又有超靜定問題這樣一章呢?它到底想要做什么呢?

首先我們要意識到,超靜定結(jié)構(gòu)在實(shí)際結(jié)構(gòu)中廣泛存在,它們也存在強(qiáng)度,剛度問題。我們在前面所計(jì)算的實(shí)際上只是靜定結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度,剛度問題,但是如果我們面對的是超靜定結(jié)構(gòu),同樣想對之進(jìn)行強(qiáng)度,剛度,穩(wěn)定性的計(jì)算,我們該怎么辦呢?

我們問的這句話是什么意思呢?

我們要知道,對于靜定結(jié)構(gòu),我們之所以能夠進(jìn)行強(qiáng)度剛度計(jì)算,有一個基本前提,就是其外力是可以計(jì)算的。知道了外力,我們才能計(jì)算內(nèi)力,才能計(jì)算應(yīng)力,才能校核其強(qiáng)度。如果連外力我們都計(jì)算步出來的話,后面的步驟就都無法進(jìn)行了。

而對于超靜定結(jié)構(gòu),我們無法求出外力,所以一切都無從開始。

所以,真想對超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行材料力學(xué)計(jì)算的話,首先需要計(jì)算出所有外力。唯有如此,才能進(jìn)入到材料力學(xué),去計(jì)算其強(qiáng)度和剛度。

要計(jì)算所有外力,除了理論力學(xué)的方程以外,我們還需要增加方程。

增加的這些方程,我們用的是力法。

使用力法的步驟是