【技術(shù)】為什么自行車不會(huì)倒？這個(gè)數(shù)學(xué)問題在自行車誕生的兩百年后才告解決

2017-03-09  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

圖片來源:Adam Glanzman/Nature

在康奈爾大學(xué)助理教授吉姆·帕帕佐普洛斯(Jim Papadopoulos)位于波士頓家里的地下室里,斜靠著七輛自行車,有的掉漆了,有的輪胎沒氣了。作為他結(jié)婚禮物的自行車車架早已被厚厚的塵埃覆蓋。他說:“我在搬家時(shí)丟棄了大部分實(shí)驗(yàn)用的自行車?！边@就意味著,留下的自行車對他來說都有著特殊的意義。他說:“這些是我平時(shí)騎的?！?

62歲的帕帕佐普洛斯對自行車著迷了大半生,甚至達(dá)到了忘我的地步。在青年和大學(xué)時(shí)代,他曾參加過業(yè)余自行車賽,但他還對自行車背后更深層次的知識著迷。在騎車時(shí)他總是要思考背后的數(shù)學(xué)問題,其中最主要的是:自行車為什么不會(huì)倒?到底是什么看不見的力量讓騎車人在踩踏板的時(shí)候還保持平衡?為什么要先把把手向右轉(zhuǎn)才能使車傾向左邊并向左轉(zhuǎn)?以及,怎樣使自行車在無人駕駛時(shí)還保持平穩(wěn)行駛?

他年輕時(shí)在康奈爾大學(xué)當(dāng)工程師,期間就努力鉆研了這些問題。然而,他大部分的設(shè)想都沒有發(fā)表,導(dǎo)致他最終退出了學(xué)術(shù)界。上世紀(jì)90年代末,他淪落到去一家生產(chǎn)廁紙制造機(jī)器的廠家工作。“如果最后沒人發(fā)現(xiàn)你的作品,繼續(xù)工作也毫無意義?！彼f。

但是終于有人發(fā)現(xiàn)了他的工作。2003年,他當(dāng)年在康奈爾的老朋友和同事,工程師安迪·魯伊納(Andy Ruina),給他打了個(gè)電話,電話里說,一個(gè)來自荷蘭的科學(xué)家阿倫·施瓦布(Arend Schwab)去了他的實(shí)驗(yàn)室,有意幫他重啟關(guān)于自行車穩(wěn)定性的研究。

“吉姆,我們需要你?！濒斠良{告訴帕帕佐普洛斯。

這幾名研究者開始一起攻克這個(gè)困擾了科學(xué)家一個(gè)世紀(jì)的難題——自行車如何維持平衡,他們的結(jié)果發(fā)表在了《美國科學(xué)院院刊》(Proceedings of Royal Society)和Science雜志上。通過這些基礎(chǔ)研究,他們力求把更高層次的科學(xué)知識注入全球市值達(dá)500億美元的自行車工業(yè)。長久以來,這個(gè)行業(yè)主要依靠人們的直覺和經(jīng)驗(yàn),而不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)。他們的研究成果可以帶動(dòng)這個(gè)行業(yè)所急需的創(chuàng)新想法,或許可以幫助設(shè)計(jì)師們發(fā)明更穩(wěn)定、更安全的新一代腳踏與電動(dòng)自行車。此外,關(guān)于自行車的見解還有潛力在其他行業(yè)發(fā)揮作用,例如假肢和機(jī)器人制造。

“所有人都會(huì)騎自行車,但沒人知道我們是怎么騎上自行車的。”在加州大學(xué)戴維斯分校讀體育機(jī)械學(xué)的工程師蒙特·哈伯德(Mont Hubbard)說。“單純從學(xué)者的角度來看,關(guān)于自行車的研究本身就很有趣,但同時(shí)這些研究也很實(shí)用,因?yàn)樗鼈兡軌驇椭藗兂鲂??！?

對于機(jī)械工程師來說,關(guān)于自行車的難題有著特別的吸引力。魯伊納說:“我們機(jī)械工程師平時(shí)打交道的就是牛頓三定律,相當(dāng)于還停留在數(shù)學(xué)、物理和工程緊密結(jié)合、密不可分的19世紀(jì)。”他說,自行車是該領(lǐng)域中為數(shù)不多的一個(gè)“碰巧跟日常生活有聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題”。

第一個(gè)老式自行車的專利可以追溯到1818年。經(jīng)歷不斷的嘗試和失敗以后,自行車在20世紀(jì)初的時(shí)候進(jìn)化成了類似現(xiàn)在的樣子。但是,這么多年來,竟沒有多少人想過它們?yōu)槭裁茨苓\(yùn)轉(zhuǎn),以及是怎么運(yùn)轉(zhuǎn)的。William Rankine,一個(gè)曾分析過蒸汽機(jī)的蘇格蘭工程師,在1869年首次提出了“反轉(zhuǎn)向”現(xiàn)象,即要想向左轉(zhuǎn),騎車人必須先微微地把車把向右側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng),才能讓車身向左傾并成功左轉(zhuǎn)。

傾斜和車把方向的聯(lián)系賦予了自行車最神奇的特征:在行進(jìn)時(shí)可以讓車身平衡。如果猛推一下無人駕駛的自行車,它可能會(huì)先踉踉蹌蹌地行駛一陣,但總能恢復(fù)平穩(wěn)向前行駛。1899年,英國數(shù)學(xué)家Francis Whipple推導(dǎo)出最早的,也是最權(quán)威的自行車數(shù)學(xué)模型之一,就是為了探索這種自動(dòng)穩(wěn)定性。Whipple把自行車模擬為四個(gè)固定的物體:兩個(gè)輪子、一個(gè)上面坐著人的車架,以及車前身加把手,這四個(gè)部分由兩條軸和一個(gè)中樞連接起來,并受到重力的作用。

把一輛自行車四個(gè)部分測得的數(shù)值代入模型,自行車的運(yùn)動(dòng)軌跡就像分解動(dòng)畫一般一幀一幀地放出來。此時(shí)工程師就可以用一種叫特征值分析(eigenvalue analysis)的手法來檢驗(yàn)自行車的穩(wěn)定性,就像檢驗(yàn)飛機(jī)設(shè)計(jì)一樣。1910年,基于上述的分析,數(shù)學(xué)家Felix Klein和Fritz Noether跟理論物理學(xué)家阿諾爾德·索末菲(Arnold Sommerfeld,沒錯(cuò),就是量子力學(xué)的開山人物之一,海森堡、泡利等量子力學(xué)大佬都是他的學(xué)生)一起研究了陀螺效應(yīng),即旋轉(zhuǎn)的輪胎不會(huì)傾斜的現(xiàn)象對自行車的影響。把一輛自行車向左推,快速旋轉(zhuǎn)的前輪就會(huì)向左轉(zhuǎn),自行車能保持直立可能出于這個(gè)原因。

然而,1970年4月,化學(xué)家、大眾科學(xué)作家戴維·瓊斯(David Jones)否認(rèn)了這個(gè)理論。他在一篇發(fā)表在Physics Today的文章中描述了自己的研究:他造出了一系列根據(jù)索末菲等人的理論根本無法駕駛的自行車,在其中一輛自行車上,他安裝了一個(gè)反向旋轉(zhuǎn)的前輪,從而有效地抵消陀螺效應(yīng)。根據(jù)索末菲等人的理論,這輛自行車應(yīng)該無法保持平衡才對,然而他不用手也可以幾乎毫不費(fèi)力地駕駛。

這個(gè)發(fā)現(xiàn)促使他探索其他可能的影響因素。他將自行車前輪和商場購物車?yán)锬軌蜣D(zhuǎn)向手推方向的小腳輪做了對比。自行車的前輪相當(dāng)于小腳輪,因?yàn)檩喿优c地面接觸的點(diǎn)總是在把手軸后5至10厘米處。這個(gè)距離稱為“曳距”(trail)。瓊斯發(fā)現(xiàn),當(dāng)曳距過大時(shí)自行車會(huì)穩(wěn)到騎著別扭,而曳距為負(fù)值的自行車則十分危險(xiǎn)——它會(huì)讓你在放開把手的一瞬間跌落。

瓊斯總結(jié)道,當(dāng)單車開始傾倒時(shí),腳輪效應(yīng)會(huì)使車的前端在重力下向回轉(zhuǎn),因而保持直立。他認(rèn)為,小腳輪曳距是對自行車自穩(wěn)性的唯一解釋。在他四十年后發(fā)表的的回憶錄里,他把這個(gè)發(fā)現(xiàn)當(dāng)做自己一生中最重要的成就之一?！拔椰F(xiàn)在被譽(yù)為現(xiàn)代自行車?yán)碚撝?。”他宣稱。

那篇文章,給當(dāng)時(shí)還生活在俄勒岡州科瓦利斯市的青年帕帕佐普洛斯留下了深刻印象。他有著對數(shù)字的天賦,但他童年時(shí)的家庭十分不幸。他的父親邁克爾是一個(gè)英國應(yīng)用數(shù)學(xué)家,原本在俄勒岡州立大學(xué)工作,卻因?yàn)榉磳υ侥蠎?zhàn)爭而沒獲得終身教授職位。接下來的十年中,邁克爾一直在法庭上跟讓他失業(yè)的大學(xué)做斗爭,而他的家人只能從垃圾堆里撿破爛來維持生計(jì)。70年代初,吉姆的母親自盡了。“在我剛剛開始認(rèn)識這個(gè)世界,認(rèn)識我自己的時(shí)候,”帕帕佐普洛斯說,“我的家庭就破碎了。”

在這時(shí)候,自行車給了他慰藉。他留著齊肩長發(fā),在小鎮(zhèn)里到處踩著他的Peugeot AO8。他不再去上學(xué),成績一落千丈。17歲的時(shí)候他輟了學(xué),離開了家。但在他放棄學(xué)業(yè)之前,一位老師給他讀了瓊斯的文章。

帕帕佐普洛斯覺得這篇文章有趣又撲朔迷離。他想:“我必須要學(xué)會(huì)這些東西。”他在加州伯克利附近游蕩了一個(gè)夏天,利用空余時(shí)間讀著George Arfken的《物理學(xué)家的數(shù)學(xué)方法》教材。接著他在俄勒岡州尤金市的一家膠合板廠工作,從此掙到了足夠的錢,買下了他每周末比賽時(shí)騎的傳奇版Schwinn Paramount自行車。1973年,他去了英國利物浦為生產(chǎn)自行車架的Harry Quinn公司工作,但他表現(xiàn)并不好,導(dǎo)致Quinn開除了他。

1975年,帕帕佐普洛斯回到俄勒岡,在俄勒岡州立大學(xué)上了一年學(xué)后轉(zhuǎn)到麻省理工學(xué)院讀機(jī)械工程的本科,并取得了優(yōu)秀的成績。?？松凸?span style="color:#888888;">(Exxon)資助他完成了固體力學(xué)的博士學(xué)位。他的本科導(dǎo)師Michael Cleary非?？春门僚磷羝章逅乖趯W(xué)術(shù)界的前途,他告訴?？松緝?nèi)部雜志的作者:“我覺得吉姆會(huì)成為一名大學(xué)教授——我當(dāng)然希望他留在麻省理工。”

然而,帕帕佐普洛斯卻有其他的打算。他一直在研究Whipple的自行車模型和瓊斯的文章,并在某個(gè)暑假參加了在美國地質(zhì)調(diào)查局的實(shí)習(xí)。在這里,他第一次遇到了后來的合作伙伴安迪·魯伊納(Andy Ruina)。

他們馬上成為了親密的朋友。當(dāng)魯伊納得到了康奈爾大學(xué)的教職后,他就雇傭了帕帕佐普洛斯為博士后?！拔覀儫o時(shí)無刻不在討論自行車,但我沒想到他會(huì)這么嚴(yán)肅地對待它?！濒斠良{說。

帕帕佐普洛斯說服魯伊納,也許自行車公司像石油公司一樣有興趣為學(xué)術(shù)研究提供經(jīng)濟(jì)支持。于是他開始向自行車制造商籌款:“捐5000美金,你就可以成為康奈爾自行車研究項(xiàng)目的贊助方!我們有志研究關(guān)于自行車的一切,從輪胎強(qiáng)度到雨中剎車失靈問題等各個(gè)方面的問題!”

帕帕佐普洛斯的第一個(gè)目標(biāo),就是研究到底是什么因素導(dǎo)致有的自行車比其他自行車更平穩(wěn)。他坐在辦公室里,細(xì)細(xì)研讀了30篇?jiǎng)e人發(fā)表的自行車運(yùn)動(dòng)公式,得出的結(jié)論是他對這些研究之拙劣感到很吃驚。公式是把自行車車架的幾何構(gòu)造與操控過程聯(lián)系起來的第一步,但是這些論文中提出的每個(gè)新模型都很少引用之前的作品,許多論文錯(cuò)誤連篇而且難以互相對比,他只能從零開始。

經(jīng)過一年的努力后,他自認(rèn)為掌握了明確的一系列公式。現(xiàn)在,到了讓這些式子助力他的研究的時(shí)候了?！拔視?huì)盯著這些等式坐上好幾個(gè)小時(shí),嘗試找出它們背后的含義?！彼f。

首先他根據(jù)瓊斯提出的關(guān)鍵變量——曳距重寫了自行車公式。根據(jù)瓊斯的結(jié)論,當(dāng)曳距為負(fù)值時(shí)自行車本該會(huì)不平穩(wěn),但他的計(jì)算結(jié)果卻顯示并非如此。他在當(dāng)時(shí)撰寫的一篇報(bào)告中畫出了一輛從把手向前伸出一個(gè)重物的怪異自行車:“重心稍微前移可以彌補(bǔ)輕微負(fù)值的曳距……似乎自行車的自穩(wěn)性并不是由單一變量決定的?！?

這個(gè)發(fā)現(xiàn)意味著,自行車容易駕駛與否,并不能由一個(gè)簡單的法則決定。曳距或許有些作用,陀螺效應(yīng)和重心或許也有些作用。對于帕帕佐普洛斯來說,這一發(fā)現(xiàn)有重大啟示。最早的車架建筑師只是碰巧發(fā)現(xiàn)了一個(gè)感覺可行的設(shè)計(jì),然后就一直被局限在小范圍的幾種設(shè)計(jì)方案中,但其實(shí),或許還有大量沒被嘗試過的幾何形狀可以改革自行車的設(shè)計(jì)。

兩年后,魯伊納已經(jīng)資助不起帕帕佐普洛斯了。除了自行車制造商Murray,他們得到的僅有的兩家贊助來自Dahon和Moulton,兩家小輪自行車的制造商,大概是因?yàn)樾≥喿孕熊囂厥獾脑O(shè)計(jì)使它們比較難騎。魯伊納開玩笑說,他們應(yīng)該把項(xiàng)目名稱改為 “折疊自行車研究項(xiàng)目”, 真是黑色幽默。

雖然帕帕佐普洛斯在自行車的數(shù)學(xué)理論方面取得了進(jìn)展,但他只發(fā)表了一篇作為第一作者的論文?！拔矣X得,發(fā)現(xiàn)新事物和鉆研細(xì)節(jié)比把它們寫下來有趣多了?！彼f。既得不到資金,又發(fā)表不出論文,他的自行車研究生涯漸漸結(jié)束了。1989年,他把他的自行車裝進(jìn)一輛面包車,開去了他當(dāng)時(shí)妻子工作的伊利諾伊州,在學(xué)校和工廠忍受著他厭惡的工作。在空余時(shí)間他為《硬核自行車愛好者》雜志建立并維護(hù)了自行車科學(xué)愛好者的電子郵件名單,也幫忙給電視真人秀Junkyard Wars造了一輛能塞進(jìn)行李箱的車。

2001年,來自麻省理工的工程師,發(fā)明了最早的現(xiàn)代躺車(recumbent bicycles)之一的David Wilson邀請帕帕佐普洛斯與他合著《自行車科學(xué)》(Bicycling Science)的第三版。然而,當(dāng)時(shí)的帕帕佐普洛斯卻正被債務(wù)和責(zé)任壓得喘不過氣。他連第一章都沒能寫完發(fā)給Wilson,后來直接連郵件都不回復(fù)了。Wilson覺得自己被背叛了?！八莻€(gè)非常聰明的人,”Wilson說,“但他總是無法完成任何事?！辈贿^,帕帕佐普洛斯說他其實(shí)完成了任務(wù)——不過比預(yù)期的耗時(shí)長了兩年罷了,當(dāng)時(shí)心力交瘁的他正經(jīng)歷一場難熬的離婚。

在康奈爾,魯伊納繼續(xù)研究自行車。他把之前研究團(tuán)隊(duì)對自行車的見解應(yīng)用在了一個(gè)新的領(lǐng)域——機(jī)器人上。他認(rèn)為,如果自行車可以不借助控制系統(tǒng)而展現(xiàn)如此優(yōu)雅的穩(wěn)定性,那或許也可以設(shè)計(jì)出一種能如此行駛的極簡行走機(jī)器。1998年,他跟荷蘭代爾夫特理工大學(xué)的施瓦布的研究生學(xué)生Martijn Wisse合作,制造出了一個(gè)可以完全不用馬達(dá)走下緩坡的兩腳機(jī)器,它能把能量儲(chǔ)存在擺動(dòng)的手臂里。在此基礎(chǔ)上加上幾個(gè)電子馬達(dá),一個(gè)可以在平地上行走的節(jié)能機(jī)器人就誕生了。

2002年,施瓦布決定跟魯伊納一起過年假,然后他們討論到了以前的自行車研究項(xiàng)目。這時(shí)魯伊納給帕帕佐普洛斯打了個(gè)電話,并上門造訪了他?！斑@是我第一次見到那個(gè)天才?！笔┩卟颊f。

隨著路上的自行車越來越多,施瓦布覺得不可理喻的是竟然沒有人發(fā)表過正確的自行車公式組,更不用說把這些公式應(yīng)用在解決自行車設(shè)計(jì)的難題上。他和一位現(xiàn)在位于荷蘭特溫特大學(xué)的工程師Jaap Meijaard分別獨(dú)立推理出了自己的公式,這與帕帕佐普洛斯的公式完全相符。他們在韓國一個(gè)工程會(huì)議上展示了最終的自行車公式,然后四人聯(lián)合發(fā)表了結(jié)果。

現(xiàn)在的問題就是要證明,這不僅僅是個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。施瓦布和學(xué)生花了一年時(shí)間建造出了一個(gè)負(fù)值曳距極小,卻具有自穩(wěn)性的自行車。這輛車看起來就像是單腳滑板和蹺蹺板的結(jié)合體,一個(gè)重物從前輪向前伸出,還有一個(gè)反向旋轉(zhuǎn)的車輪來抵消陀螺效應(yīng)。在一個(gè)它滑行的視頻中,你能看到它先傾斜并向右轉(zhuǎn),但接著就自己恢復(fù)平穩(wěn)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了帕帕佐普洛斯的觀點(diǎn),即自行車穩(wěn)定與否由多種因素共同決定。

然而,在自己的發(fā)現(xiàn)在30年之后終于為更多人所知的時(shí)候,帕帕佐普洛斯卻忍不住感到失望?！斑@并沒有如我們想象那般改變一切?！彼f。自行車架的設(shè)計(jì)仍然年年如一。“大家都還無法打破常規(guī)思考。”他說。盡管如此,其他的研究者們也跟上了他們組的軌跡,在2010年,終于舉辦了一場關(guān)于自行車與電動(dòng)車動(dòng)力學(xué)的會(huì)議。會(huì)議召集了來自世界各地的工匠,其中一些人也制造了怪異的實(shí)驗(yàn)性自行車,用來驗(yàn)證設(shè)計(jì)原理。

去年這項(xiàng)會(huì)議的組織者是來自加州大學(xué)伯克利分校的工程師Jason Moore,他力求尋找自行車車架的幾何形狀與操作簡便程度之間的聯(lián)系。這項(xiàng)工作受啟發(fā)于關(guān)于飛行員的軍事研究。Moore通過在裝滿傳感器的自行車上進(jìn)行一系列演習(xí),監(jiān)測了車把方向,傾角和速度,創(chuàng)建了一個(gè)人類控制自行車的模型。為了只通過車把來平衡和騎行(而不是重心的移動(dòng)),他不得不穿上剛硬的馬具把自己綁在自行車上。這項(xiàng)研究證實(shí)了自行車越平穩(wěn)越好駕駛這一長期以來的假設(shè),或能為車架建筑師們提供優(yōu)化設(shè)計(jì)的工具。

這同時(shí)也引入了一個(gè)難題:實(shí)驗(yàn)實(shí)測車把所需的轉(zhuǎn)矩是Whipple自行車模型預(yù)測的二至三倍。這個(gè)差異或許源于模型里沒有包含的輪胎摩擦和彎曲,但并不能蓋棺定論。為便于實(shí)驗(yàn),Moore和他的同事們建造了一個(gè)可以平衡自身的機(jī)器人自行車?！爸灰袀€(gè)機(jī)器人自行車,你就可以做很多瘋狂的實(shí)驗(yàn),不用讓真人騎上去冒險(xiǎn)了?！彼f。(他之前的一個(gè)控制實(shí)驗(yàn)要讓木棍猛地側(cè)擊自行車,還要保持平衡。)其他許多無人駕駛的自行車機(jī)器人需要靠內(nèi)部的陀螺來保持直立,但這個(gè)機(jī)器人只靠車把。Moore已經(jīng)把它寄給施瓦布做更深入的研究了。

今天,施瓦布擁有了帕帕佐普洛斯夢寐以求的實(shí)驗(yàn)室,帕帕佐普洛斯也為能夠與他合作感到不勝感激?！斑@是我能想象到的最美好的東西?！彼f。施瓦布其他的研究項(xiàng)目包括一個(gè)將把向運(yùn)動(dòng)跟平衡運(yùn)動(dòng)分離的“線把向” 自行車,還有一個(gè)可以在低速行走時(shí)保持平穩(wěn)的 “輔助把向” 自行車。他還發(fā)明了一種能展現(xiàn)自穩(wěn)性的后輪轉(zhuǎn)向躺車,用放大的前輪來增大陀螺效應(yīng)的放大的前輪。后轉(zhuǎn)向躺車最大的好處是需要的車鏈比傳統(tǒng)躺車更短,因而能更有效地傳遞能量?！坝腥酥皣L試過,但并不能駕駛?！笔┩卟颊f。

淡出學(xué)術(shù)圈已久的帕帕佐普洛斯如今在位于波士頓的東北大學(xué)任教,開始再次嘗試進(jìn)入學(xué)術(shù)圈。他開始建立合作關(guān)系,驗(yàn)證一些蟄伏已久的關(guān)于為什么自行車在高速行駛時(shí)會(huì)搖晃的猜想。他相信,能夠用一個(gè)消音器吸收坐桿處的震動(dòng),從而減少晃動(dòng)。他跟同事和學(xué)生也由此開始探索一系列其他問題,有些甚至跟自行車本身沒有太大關(guān)系了。

在他的地下室,帕帕佐普洛斯打開了一個(gè)褐色備案柜的抽屜,翻起了皺巴巴的馬尼拉文件夾。上邊標(biāo)記著“胎壓”,“生物動(dòng)能”,和“康奈爾”。他拿出一本教科書:“運(yùn)動(dòng)生理學(xué)?我從未認(rèn)真讀過?！彼f著,把書丟到一邊。在抽屜深處,他找到厚厚一本文件夾的自行車研究方案,上面標(biāo)記著“未完成”。

Papadopoulos沉思了一秒,把標(biāo)簽改成了“基本未完成” 。

轉(zhuǎn)自:環(huán)球科學(xué)ScientificAmerican

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