顯示動(dòng)力學(xué)分析和隱式動(dòng)力學(xué)分析

2013-08-14 by:模態(tài)、頻率相關(guān)分析中心來(lái)源:仿真在線

顯示動(dòng)力學(xué)分析和隱式動(dòng)力學(xué)分析

什么叫顯示動(dòng)力學(xué),什么叫隱式動(dòng)力學(xué)分析?

1、顯式算法基于動(dòng)力學(xué)方程,因此無(wú)需迭代;而靜態(tài)隱式算法基于虛功原理,一般需要迭代計(jì)算。
2、顯式算法最大優(yōu)點(diǎn)是有較好的穩(wěn)定性。
動(dòng)態(tài)顯式算法采用動(dòng)力學(xué)方程的一些差分格式,不用直接求解切線剛度,不需要進(jìn)行平衡迭代,計(jì)算速度快,時(shí)間步長(zhǎng)只要取的足夠小,一般不存在收斂性問(wèn)題。因此需要的內(nèi)存也比隱式算法要少。并且數(shù)值計(jì)算過(guò)程可以很容易地進(jìn)行并行計(jì)算,程序編制也相對(duì)簡(jiǎn)單。但顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣,而且只有在單元級(jí)計(jì)算盡可能少時(shí)速度優(yōu)勢(shì)才能發(fā)揮, 因而往往采用減縮積分方法,容易激發(fā)沙漏模式,影響應(yīng)力和應(yīng)變的計(jì)算精度。
靜態(tài)顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler向前差分法,不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿足,所以得出的結(jié)果會(huì)慢慢偏離正確值。為了減少相關(guān)誤差,必須每步使用很小的增量。
3、隱式算法
隱式算法中,在每一增量步內(nèi)都需要對(duì)靜態(tài)平衡方程進(jìn)行迭代求解,并且每次迭代都需要求解大型的線性方程組,這個(gè)過(guò)程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算資源、磁盤空間和內(nèi)存。該算法中的增量步可以比較大,至少可以比顯式算法大得多,但是實(shí)際運(yùn)算中上要受到迭代次數(shù)及非線性程度的限制,需要取一個(gè)合理值。
4、求解時(shí)間
使用顯式方法,計(jì)算成本消耗與單元數(shù)量成正比,并且大致與最小單元的尺寸成反比;
應(yīng)用隱式方法,經(jīng)驗(yàn)表明對(duì)于許多問(wèn)題的計(jì)算成本大致與自由度數(shù)目的平方成正比;
因此如果網(wǎng)格是相對(duì)均勻的,隨著模型尺寸的增長(zhǎng),顯式方法表明比隱式方法更加節(jié)省計(jì)算成本
隱式求解法
將沖壓成型過(guò)程的計(jì)算作為動(dòng)態(tài)問(wèn)題來(lái)處理后,就涉及到時(shí)間域的數(shù)值積分方法問(wèn)題。在80年代中期以前,人們基本上使用牛曼法進(jìn)行時(shí)間域的積分。根據(jù)牛曼法,位移、速度和加速度有著如下的關(guān)系:上面式子中 , 分別為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的位移, 和為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的速度, 和為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的加速度,β和γ為兩個(gè)待定參數(shù)。由上式可知,在牛曼法中任一時(shí)刻的位移、速度和加速度都相互關(guān)聯(lián),這就使得運(yùn)動(dòng)方程的求解變成一系列相互關(guān)聯(lián)的非線性方程的求解。這個(gè)求解過(guò)程必須通過(guò)迭代和求解聯(lián)立方程組才能實(shí)現(xiàn)。這就是通常所說(shuō)的隱式求解法。隱式求解法可能遇到兩個(gè)問(wèn)題。一是迭代過(guò)程不一定收斂;二是聯(lián)立方程組可能出現(xiàn)病態(tài)而無(wú)確定的解。隱式求解法的最大優(yōu)點(diǎn)是它具有無(wú)條件穩(wěn)定性,即時(shí)間步長(zhǎng)可以任意大。
顯式求解法
如果采用中心差分法來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)問(wèn)題的時(shí)域積分,則有如下位移、速度和加速度關(guān)系:
由上式可以看出,當(dāng)前時(shí)刻的位移只與前一時(shí)刻的加速度和位移有關(guān),這就意味著當(dāng)前時(shí)刻的位移求解無(wú)需迭代過(guò)程。另外,只要將運(yùn)動(dòng)方程中的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣對(duì)角化,前一時(shí)刻的加速度求解無(wú)需解聯(lián)立方程組,從而使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化,這就是所謂的顯式求解法。顯式求解法的優(yōu)點(diǎn)是它即沒(méi)有收斂性問(wèn)題,也不需求解聯(lián)立方程組,其缺點(diǎn)是時(shí)間步長(zhǎng)受到數(shù)值積分穩(wěn)定性的限制,不能超過(guò)系統(tǒng)的臨界時(shí)間步長(zhǎng)。由于沖壓成型過(guò)程具有很強(qiáng)的非線性,從解的精度考慮,時(shí)間步長(zhǎng)也不能太大,這就在很大程度上彌補(bǔ)了顯式求解法的缺陷。
在80年代中期以前顯式算法主要用于高速碰撞的仿真計(jì)算,效果很好。自80年代后期被越來(lái)越廣泛地用于沖壓成型過(guò)程的仿真,目前在這方面的應(yīng)用效果已超過(guò)隱式算法。顯式算法在沖壓成型過(guò)程的仿真中獲得成功應(yīng)用的關(guān)鍵,在于它不像隱式算法那樣有解的收斂性問(wèn)題。
顯式算法和隱式算法,有時(shí)也稱為顯式解法和隱式解法,是計(jì)算力學(xué)中常見(jiàn)的兩個(gè)概念,但是它們并沒(méi)有普遍認(rèn)可的定義,下面收集的一些理解。先看看一般對(duì)兩種方法的理解和比較。

顯式算法隱式算法
(01)適用問(wèn)題動(dòng)力學(xué)(動(dòng)態(tài)) 靜力學(xué)(靜態(tài))
(02)阻尼人工阻尼數(shù)值阻尼
(03)每步求解方法矩陣乘法線性方程組
(04)大矩陣(總剛) 否是
(05)數(shù)據(jù)存貯量小大
(06)每步計(jì)算速度快慢
(07)迭代收斂性無(wú) 有
(08)確定解有確定解可能是病態(tài)無(wú)確定解
(09)時(shí)步穩(wěn)定性有條件無(wú)條件
(10)時(shí)間步小大
(11)計(jì)算精度低高

(01)是明顯不對(duì)的,只是對(duì)兩種方法的初級(jí)理解,(02)也是同樣。下面要詳細(xì)討論這兩點(diǎn)。(03)是每一步求解的方法,(04)(05)(06)(07)(08)是由(03)所決定的,它們不是兩種方法的基本特點(diǎn)。同樣,(09)是時(shí)間步選擇的方法,(10)(11)是由(09)所決定的。
通過(guò)(03)(09)可以得到兩種方法的計(jì)算特點(diǎn),顯式算法是每一步求解為矩陣乘法,時(shí)間步選擇為條件穩(wěn)定;隱式算法是每一步求解為線性方程組求解,時(shí)間步選擇為無(wú)條件穩(wěn)定。
下面主要分析兩種方法的應(yīng)用范圍。
在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),將方程在空間上采用有限元法(或其他方法)進(jìn)行離散后,變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探M[M]{..u}+[C]{.u}+[K]{u}={f}。求解這種方程的其中兩種方法為,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被稱為顯式算法,采用Newmark法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被稱為隱式算法。
在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),離散元法(也有其他方法)主要有兩種思想:動(dòng)態(tài)松弛法(向后時(shí)步迭代),靜態(tài)松弛法(每一步要平衡)。動(dòng)態(tài)松弛法是顯式算法,靜態(tài)松弛法是隱式算法。其中沖壓成型就是動(dòng)態(tài)松弛法的主要例子。
在求解靜力學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)候?qū)⑵淇醋鲃?dòng)力學(xué)問(wèn)題來(lái)處理而采用動(dòng)態(tài)松弛法,這是顯式算法。其中沖壓成形就是主要例子。

顯式算法隱式算法
(01)每步求解方法矩陣乘法線性方程組
(02)時(shí)步穩(wěn)定性有條件無(wú)條件
(03)適用問(wèn)題動(dòng)力中心差分法動(dòng)力Newmark法
動(dòng)力動(dòng)態(tài)松弛法動(dòng)力靜態(tài)松弛法靜力動(dòng)態(tài)松弛法

附加說(shuō)明:
1)求解線性靜力學(xué)問(wèn)題,雖然求解線性方程組,但是沒(méi)有時(shí)步的關(guān)系,所以不應(yīng)將其看作隱式算法。
2)求解非線性靜力學(xué)問(wèn)題,雖然求解過(guò)程需要迭代,或者是增量法,但是沒(méi)有明顯的時(shí)步問(wèn)題,所以不應(yīng)將其看作隱式算法。
3)靜態(tài)松弛法,可以認(rèn)為是將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題看作靜力學(xué)問(wèn)題來(lái)解決,每一步達(dá)到靜力平衡,需要數(shù)值阻尼。
4)動(dòng)態(tài)松弛法,可以認(rèn)為是將靜力學(xué)問(wèn)題或者動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,分為時(shí)步動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,采用向后時(shí)步迭代的思想計(jì)算。對(duì)于解決靜力學(xué)問(wèn)題時(shí),需要人工阻尼。

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