什么是有限元分析?

2013-08-14 by:廣州有限元分析、培訓(xùn)中心-1CAE.COM 來源:有限元培訓(xùn)中心

有限元法:把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點(diǎn)處相互連接的單元(子域)所構(gòu)成,其模型給出基本方程的分片(子域)近似解,由于單元(子域)可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸,所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件

有限元模型:它是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成,單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接,并承受一定載荷。

有限元分析:是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)(幾何和載荷工況)進(jìn)行模擬。并利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素,即單元,就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。

線彈性有限元是以理想彈性體為研究對(duì)象的,所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上。在這類問題中,材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系,滿足廣義胡克定律;應(yīng)力與應(yīng)變也是線性關(guān)系,線彈性問題可歸結(jié)為求解線性方程問題,所以只需要較少的計(jì)算時(shí)間。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法,也有助于降低有限元分析的時(shí)間。

線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動(dòng)力學(xué)分析兩方面。

非線性問題與線彈性問題的區(qū)別:

1)非線性問題的方程是非線性的,一般需要迭代求解;

2)非線性問題不能采用疊加原理;

3)非線性問題不總有一致解,有時(shí)甚至沒有解。

有限元求解非線性問題可分為以下三類:

1)材料非線性問題

材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的,但應(yīng)力與應(yīng)變卻很微小,此時(shí)應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系,這類問題屬于材料的非線性問題。由于從理論上還不能提供能普遍接受的本構(gòu)關(guān)系,所以,一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗(yàn)數(shù)據(jù),有時(shí)非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬,盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實(shí)際中較為重要的材料非線性問題有:非線性彈性(包括分段線彈性)、彈塑性、粘塑性及蠕變等。

2)幾何非線性問題

幾何非線性問題是由于位移之間存在非線性關(guān)系引起的。

當(dāng)物體的位移較大時(shí),應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系。研究這類問題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系。它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題屬于大位移小應(yīng)變問題,橡膠部件形成過程為大應(yīng)變問題。

3)非線性邊界問題

在加工、密封、撞擊等問題中,接觸和摩擦的作用不可忽視,接觸邊界屬于高度非線性邊界。

平時(shí)遇到的一些接觸問題,如齒輪傳動(dòng)、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等,當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時(shí)通常要考慮非線性邊界條件。

實(shí)際的非線性可能同時(shí)出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。

有限元法求解問題的基本步驟

1.結(jié)構(gòu)離散化

對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化,將其分割成若干個(gè)單元,單元間彼此通過節(jié)點(diǎn)相連;

2.求出各單元的剛度矩陣[K]^(e)

[K]^(e)是由單元節(jié)點(diǎn)位移量{Φ}^(e)求單元節(jié)點(diǎn)力向量{F}^(e)的轉(zhuǎn)移矩陣,其關(guān)系式為:{F}^(e)= [K]^(e) {Φ}^(e)

3.集成總體剛度矩陣[K]并寫出總體平衡方程:

總體剛度矩陣[K]是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量{Φ}求整體節(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)移矩陣,其關(guān)系式為{F}⁼ [K] {Φ},此即為總體平衡方程。

4.引入支撐條件,求出各節(jié)點(diǎn)的位移

節(jié)點(diǎn)的支撐條件有兩種:一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零,另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。

5.求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。

對(duì)于有限元方法,其基本思路和解題步驟可歸納為:

(1)建立積分方程,根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理,建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式,這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。

(2)區(qū)域單元剖分,根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn),將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作,這部分工作量比較大,除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外,還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo),同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。

(3)確定單元基函數(shù),根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的,由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀,在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。

(4)單元分析:將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近;再將近似函數(shù)代入積分方程,并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分,可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組,稱為單元有限元方程。

(5)總體合成:在得出單元有限元方程之后,將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加,形成總體有限元方程。

(6)邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件, 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件,需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。

(7)解有限元方程:根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉方程組,采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解,可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。

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