有限元分析的基本知識

2013-07-06 by:廣州有限元分析來源:仿真在線

一概述
       有限單元法是隨著電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計算方法。它是50年代首先在連續(xù)體力學領域 - 飛機結構靜、動態(tài)特性分析中應用的一種有效的數(shù)值分析方法,隨后很快廣泛的應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)性問題。
     有限元法分析計算的基本思想 (以結構位移法為例)
        (1) 結構離散化
        (2) 單元特性分析
            選擇位移模式
            分析單元的力學性質
            計算等效節(jié)點力
        (3) 單元組集
        (4) 求解未知節(jié)點位移
        (5) 計算其它物理量 (結果恢復)

(1) 結構離散化
     將連續(xù)體劃分為若干小 “單元” 的集合。在相鄰單元的邊界上應滿足一定的連續(xù)條件。
     單元內部的物理量可以用單元 “節(jié)點” 處的相關物理量來表示。節(jié)點處的這些物理量統(tǒng)稱為 "自由度",其所代表的實際物理量如:節(jié)點位移、轉角、溫度、熱流、電壓、電流、磁通量、流速、流量等。單元節(jié)點的設置、自由度性質、數(shù)目等應視問題的性質,所描述物理量的變化形態(tài)的需要和計算精度而定。
     然后,將各單元的節(jié)點物理量按一定方式組合到一起以代表整個結構。這樣處理后,整個結構上的微分方程可以表示為用有限個節(jié)點上的物理量為未知數(shù)的代數(shù)方程。
     用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理,則所獲得的結果就與實際情況相符合。

(2) 單元特性分析
     單元特性包括:單元中節(jié)點的個數(shù)及位置,相關物理量在單元中的分布函數(shù)等。
     根據(jù)單元的材料性質、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等,找出單元節(jié)點自由度和單元內部物理量變化的關系式,這是單元分析中的關鍵一步。
     此時需要應用相關的力學理論的幾何和物理方程來建立相應的方程式,從而導出所需的單元矩陣,這是有限元法的基本步驟之一。對于結構分析,主要是應變-位移關系、應力-應變關系、應變能方程等。

      單元特性分析的重要內容是選擇單元中物理量的變化函數(shù)。例如,結構分析的不同有限元方法有:
       a. 位移法:以節(jié)點位移作為基本未知量稱為位移法;
       b. 力法:以節(jié)點力作為基本未知量稱為力法;
       c. 混合法:取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。
      以結構位移法為例:
     選擇單元內部的位移模式 (形狀函數(shù)) 以及與單元位移模式匹配的單元節(jié)點處的物理量,如:節(jié)點處的位移、轉角(位移的一次導數(shù))、曲率(位移的二次導數(shù))。
     最常用的形狀函數(shù)是多項式函數(shù)。
     選擇節(jié)點自由度和單元形狀函數(shù)后,就可以根據(jù)相應的幾何、物理方程推導出相應的單元矩陣。

計算等效節(jié)點力
     單元特性分析的另一個重要內容是建立單元的外部 "載荷" (包括單元之間的內部 "載荷") 與單元節(jié)點物理量之間的關系。
     物體離散化后,假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元。但是,對于實際的連續(xù)體,力可以作用在單元的任意區(qū)域或位置 (體積力、分布面力、集中力等),也可以在一個單元與相鄰單元的公共邊 (線、面) 之間進行傳遞。因而,這種作用在單元上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點上去,也就是用等效的節(jié)點力來代替所有作用在單元上的力。

(3) 單元組集
     即由單元的有限元特性組裝整個結構的相關方程。包括施加載荷和各種約束條件等。
     以結構位移法為例,即是利用節(jié)點處力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來,形成以整個結構的節(jié)點物理量為未知數(shù)的有限元代數(shù)方程
(4) 求解未知節(jié)點位移
     可以根據(jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。
(5) 計算其它物理量
     在求得整個結構的位移之后,可以根據(jù)相應單元所依據(jù)的的力學理論計算其它物理量,例如,一般彈性體的應力和應變、梁的截面內力 (剪力、軸力、彎矩和扭矩)、約束反力等。

有限元方法的發(fā)展
     有限元分析方法最早是從結構化矩陣分析發(fā)展而來,逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析,實踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。
     (1) 有限元方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁場、滲流和聲場等問題的求解計算,目前又發(fā)展到求解幾個交叉學科的問題。
     例如當氣流流過一個很高的鐵塔產生變形,而塔的變形又反過來影響到氣流的流動……這就需要用固體力學和流體動力學的有限元分析結果交叉迭代求解,即所謂"流固耦合"的問題。
     (2) 由求解線性工程問題進展到分析非線性問題
     線性理論已經遠遠不能滿足設計的要求。
     例如:航空航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應力,要考慮材料的非線性 (彈塑性) 問題;諸如塑料、橡膠和復合材料等各種新材料的出現(xiàn),也只有采用非線性有限元算法才能解決。
(3) 增強可視化的前、后處理功能
     隨著數(shù)值分析方法的逐步完善和計算機運算速度的飛速發(fā)展,用于求解運算的時間越來越少,而數(shù)據(jù)準備和結果的處理問題卻日益突出。
     在現(xiàn)在的工作站上,求解一個包含10萬個方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計算一個工程問題時有 80% 以上的精力都花在數(shù)據(jù)準備和結果分析上。
     因此,強大的前、后處理功能既是廣大用戶對通用有限元軟件的需要,也是衡量有限元軟件水平的重要標志。
     目前幾乎所有的商業(yè)化有限元軟件系統(tǒng)都有功能很強的前、后處理模塊,使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進行幾何建模、網格自動劃分,生成有限元分析所需數(shù)據(jù),并按要求將大量的計算結果整理成變形圖、等值分布云圖或相關曲線,便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。

     (4) 與 CAD 軟件的無縫集成
     當今有限元軟件系統(tǒng)的另一個特點是與通用 CAD 軟件的集成使用, 即:在用 CAD 軟件完成部件和零件的幾何造型設計后,自動生成有限元網格并進行計算,如果分析的結果不符合設計要求則重新進行造型和計算,直到滿意為止,從而極大地提高了設計水平和效率。
     當今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的 CAD軟件 (例如 proeNGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、I-DEAS、Bentley 和 AutoCAD等) 的接口。
     (5) 與其它計算方法的結合
     最典型的就是與差分方法結合的 (時間) 瞬態(tài)分析,即時間采用差分,其它用有限元。
     此外,新近出現(xiàn)的將有限元方法與邊界元方法、能量統(tǒng)計方法等結合處理振動噪聲問題 (法國 T-System 公司)等。這也是今后多學科交叉分析的發(fā)展方向之一。

有限元軟件
     國際上早在 20 世紀 50 年代末、60 年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局(NASA)在 1965 年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的 NASTRAN 有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本,是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)之一。
      此外,世界各地的研究機構和大學先后發(fā)展了一批專用或通用有限元分析軟件,幾經組合、變幻,目前較著名的有德國的 ASKA、英國的 PAFEC、法國的 SYSTUS、美國的 Nastran、ABAQUS、ANSYS、COSMOS、和 I-deas;以及原為美國 UG 公司 ,現(xiàn)被德國西門子公司收購的 NX 系列產品,等。