有限元分析的基本知識(shí)

2013-07-06 by:廣州有限元分析來源:仿真在線

一概述
       有限單元法是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。它是50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域 - 飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)特性分析中應(yīng)用的一種有效的數(shù)值分析方法,隨后很快廣泛的應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。
     有限元法分析計(jì)算的基本思想 (以結(jié)構(gòu)位移法為例)
        (1) 結(jié)構(gòu)離散化
        (2) 單元特性分析
            選擇位移模式
            分析單元的力學(xué)性質(zhì)
            計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力
        (3) 單元組集
        (4) 求解未知節(jié)點(diǎn)位移
        (5) 計(jì)算其它物理量 (結(jié)果恢復(fù))

(1) 結(jié)構(gòu)離散化
     將連續(xù)體劃分為若干小 “單元” 的集合。在相鄰單元的邊界上應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件。
     單元內(nèi)部的物理量可以用單元 “節(jié)點(diǎn)” 處的相關(guān)物理量來表示。節(jié)點(diǎn)處的這些物理量統(tǒng)稱為 "自由度",其所代表的實(shí)際物理量如:節(jié)點(diǎn)位移、轉(zhuǎn)角、溫度、熱流、電壓、電流、磁通量、流速、流量等。單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、自由度性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì),所描述物理量的變化形態(tài)的需要和計(jì)算精度而定。
     然后,將各單元的節(jié)點(diǎn)物理量按一定方式組合到一起以代表整個(gè)結(jié)構(gòu)。這樣處理后,整個(gè)結(jié)構(gòu)上的微分方程可以表示為用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上的物理量為未知數(shù)的代數(shù)方程。
     用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理,則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。

(2) 單元特性分析
     單元特性包括:單元中節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置,相關(guān)物理量在單元中的分布函數(shù)等。
     根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等,找出單元節(jié)點(diǎn)自由度和單元內(nèi)部物理量變化的關(guān)系式,這是單元分析中的關(guān)鍵一步。
     此時(shí)需要應(yīng)用相關(guān)的力學(xué)理論的幾何和物理方程來建立相應(yīng)的方程式,從而導(dǎo)出所需的單元矩陣,這是有限元法的基本步驟之一。對(duì)于結(jié)構(gòu)分析,主要是應(yīng)變-位移關(guān)系、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、應(yīng)變能方程等。

      單元特性分析的重要內(nèi)容是選擇單元中物理量的變化函數(shù)。例如,結(jié)構(gòu)分析的不同有限元方法有:
       a. 位移法:以節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量稱為位移法;
       b. 力法:以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量稱為力法;
       c. 混合法:取一部分節(jié)點(diǎn)力和一部分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為混合法。
      以結(jié)構(gòu)位移法為例:
     選擇單元內(nèi)部的位移模式 (形狀函數(shù)) 以及與單元位移模式匹配的單元節(jié)點(diǎn)處的物理量,如:節(jié)點(diǎn)處的位移、轉(zhuǎn)角(位移的一次導(dǎo)數(shù))、曲率(位移的二次導(dǎo)數(shù))。
     最常用的形狀函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)。
     選擇節(jié)點(diǎn)自由度和單元形狀函數(shù)后,就可以根據(jù)相應(yīng)的幾何、物理方程推導(dǎo)出相應(yīng)的單元矩陣。

計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力
     單元特性分析的另一個(gè)重要內(nèi)容是建立單元的外部 "載荷" (包括單元之間的內(nèi)部 "載荷") 與單元節(jié)點(diǎn)物理量之間的關(guān)系。
     物體離散化后,假定力是通過節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是,對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體,力可以作用在單元的任意區(qū)域或位置 (體積力、分布面力、集中力等),也可以在一個(gè)單元與相鄰單元的公共邊 (線、面) 之間進(jìn)行傳遞。因而,這種作用在單元上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去,也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替所有作用在單元上的力。

(3) 單元組集
     即由單元的有限元特性組裝整個(gè)結(jié)構(gòu)的相關(guān)方程。包括施加載荷和各種約束條件等。
     以結(jié)構(gòu)位移法為例,即是利用節(jié)點(diǎn)處力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來,形成以整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)物理量為未知數(shù)的有限元代數(shù)方程
(4) 求解未知節(jié)點(diǎn)位移
     可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來選擇合適的計(jì)算方法。
(5) 計(jì)算其它物理量
     在求得整個(gè)結(jié)構(gòu)的位移之后,可以根據(jù)相應(yīng)單元所依據(jù)的的力學(xué)理論計(jì)算其它物理量,例如,一般彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變、梁的截面內(nèi)力 (剪力、軸力、彎矩和扭矩)、約束反力等。

有限元方法的發(fā)展
     有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來,逐步推廣到板、殼和實(shí)體等連續(xù)體固體力學(xué)分析,實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。
     (1) 有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場(chǎng)、電傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、滲流和聲場(chǎng)等問題的求解計(jì)算,目前又發(fā)展到求解幾個(gè)交叉學(xué)科的問題。
     例如當(dāng)氣流流過一個(gè)很高的鐵塔產(chǎn)生變形,而塔的變形又反過來影響到氣流的流動(dòng)……這就需要用固體力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解,即所謂"流固耦合"的問題。
     (2) 由求解線性工程問題進(jìn)展到分析非線性問題
     線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求。
     例如:航空航天和動(dòng)力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力,要考慮材料的非線性 (彈塑性) 問題;諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn),也只有采用非線性有限元算法才能解決。
(3) 增強(qiáng)可視化的前、后處理功能
     隨著數(shù)值分析方法的逐步完善和計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展,用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來越少,而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果的處理問題卻日益突出。
     在現(xiàn)在的工作站上,求解一個(gè)包含10萬個(gè)方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問題時(shí)有 80% 以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果分析上。
     因此,強(qiáng)大的前、后處理功能既是廣大用戶對(duì)通用有限元軟件的需要,也是衡量有限元軟件水平的重要標(biāo)志。
     目前幾乎所有的商業(yè)化有限元軟件系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前、后處理模塊,使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行幾何建模、網(wǎng)格自動(dòng)劃分,生成有限元分析所需數(shù)據(jù),并按要求將大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖或相關(guān)曲線,便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。

     (4) 與 CAD 軟件的無縫集成
     當(dāng)今有限元軟件系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用 CAD 軟件的集成使用, 即:在用 CAD 軟件完成部件和零件的幾何造型設(shè)計(jì)后,自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算,如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算,直到滿意為止,從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。
     當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的 CAD軟件 (例如 proeNGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、I-DEAS、Bentley 和 AutoCAD等) 的接口。
     (5) 與其它計(jì)算方法的結(jié)合
     最典型的就是與差分方法結(jié)合的 (時(shí)間) 瞬態(tài)分析,即時(shí)間采用差分,其它用有限元。
     此外,新近出現(xiàn)的將有限元方法與邊界元方法、能量統(tǒng)計(jì)方法等結(jié)合處理振動(dòng)噪聲問題 (法國 T-System 公司)等。這也是今后多學(xué)科交叉分析的發(fā)展方向之一。

有限元軟件
     國際上早在 20 世紀(jì) 50 年代末、60 年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局(NASA)在 1965 年委托美國計(jì)算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的 NASTRAN 有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個(gè)版本,是目前世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)之一。
      此外,世界各地的研究機(jī)構(gòu)和大學(xué)先后發(fā)展了一批專用或通用有限元分析軟件,幾經(jīng)組合、變幻,目前較著名的有德國的 ASKA、英國的 PAFEC、法國的 SYSTUS、美國的 Nastran、ABAQUS、ANSYS、COSMOS、和 I-deas;以及原為美國 UG 公司 ,現(xiàn)被德國西門子公司收購的 NX 系列產(chǎn)品,等。