Abaqus有限元分析——自動時間增量和穩(wěn)定性

2013-08-14 by:非線性分析軟件應(yīng)用培訓(xùn)中心來源:仿真在線

Abaqus有限元分析——自動時間增量和穩(wěn)定性

穩(wěn)定性限制了ABAQUS/Explicit求解器所能采用的最大時間步長,這是應(yīng)用ABAQUS/Explicit進(jìn)行計算的一個重要因素。下面一節(jié)將描述穩(wěn)定性限制并討論在ABAQUS/Explicit中如何確定這個值,還將討論影響穩(wěn)定性限制的有關(guān)模型設(shè)計參數(shù)的問題,這些模型參數(shù)包括模型的質(zhì)量、材料和網(wǎng)格剖分。

9.3.1 顯式方法的條件穩(wěn)定性

應(yīng)用顯式方法,基于在增量步開始時刻t的模型狀態(tài),通過時間增量前推到當(dāng)前時刻的模型狀態(tài)。這個使得狀態(tài)能夠前推并仍能夠保持對問題的精確描述的時間是非常短的。如果時間增量是大于這個最大的時間步長,則此時間增量已經(jīng)超出了穩(wěn)定性限制(stability limite)。超過穩(wěn)定性限制的一個可能后果就是數(shù)值不穩(wěn)定,它可能導(dǎo)致解答不收斂。由于一般不可能精確地確定穩(wěn)定性限制,因而采用保守的估計值。因為穩(wěn)定性限制對可靠性和精確性有很大的影響,所以必須一致性和保守地確定這個值。為了提高計算的效率,ABAQUS/Explicit選擇時間增量,使其盡可能地接近而且又不超過穩(wěn)定性限制。

9.3.2 穩(wěn)定性限制的定義

以在系統(tǒng)中的最高頻率()的形式定義穩(wěn)定性限制。無阻尼的穩(wěn)定性限制由下式定義

而有阻尼的穩(wěn)定性限制由下面的表達(dá)式定義

式中,是最高頻率模態(tài)的臨界阻尼部分。(回顧臨界阻尼,它定義了在自由的和有阻尼的振動關(guān)系中在有振蕩運動與無振蕩運動之間的限制。為了控制高頻振蕩,ABAQUS/Explicit總是以體積粘性的形式引入一個小量的阻尼。)這也許與工程上的直覺相反,阻尼通常是減小穩(wěn)定性限制的。

在系統(tǒng)中的實際最高頻率是基于一組復(fù)雜的相互作用因素,而且是不大可能計算出確切的值。代替的辦法是應(yīng)用一個有效的和保守的簡單估算。我們不是考慮模型整體,而是估算在模型中每個個體單元的最高頻率,它總是與膨脹模態(tài)有關(guān)?？梢宰C明,由逐個單元為基礎(chǔ)確定的最高單元頻率總是高于有限元組合模型的最高頻率。

基于逐個單元的估算,穩(wěn)定極限可以用單元長度和材料波速重新定義:

因為沒有明確如何確定單元的長度,對于大多數(shù)單元類型,例如一個扭曲的四邊形單元,上述方程只是關(guān)于實際的逐個單元穩(wěn)定極限的估算。作為近似值,可以采用最短的單元尺寸,但是估算的結(jié)果并不一定是保守的。單元長度越短,穩(wěn)定極限越小。波速是材料的一個特性。對于泊松比為零的線彈性材料

其中,E是楊氏模量,是密度。材料的剛度越大,波速越高,導(dǎo)致越小的穩(wěn)定極限;密度越高,波速越低,導(dǎo)致越大的穩(wěn)定極限。

這種簡單的穩(wěn)定極限定義提供了某些直覺上的理解。穩(wěn)定極限是當(dāng)膨脹波通過由單元特征長度定義的距離時所需要的時間。如果我們知道最小的單元尺寸和材料的波速,我們就能夠估算穩(wěn)定極限。例如,如果最小單元尺寸是5 mm,和膨脹波速是5000 m/s,穩(wěn)定的時間增量就是在1×10^-6s的量級上。

9.3.3 在ABAQUS/Explicit中的完全自動時間增量與固定時間增量

在分析的過程中,ABAQUS/Explicit應(yīng)用在前一節(jié)討論過的那些方程調(diào)整時間增量的值,使得基于模型的當(dāng)前狀態(tài)的穩(wěn)定極限永不越界。時間增量是自動的,并不需用戶干涉,甚至不需要建議初始的時間增量。穩(wěn)定極限是從數(shù)值模型得來的一個數(shù)學(xué)概念。因為有限元程序包含了所有的相關(guān)細(xì)節(jié),所以能夠確定出一個有效的和保守的穩(wěn)定極限。然而,ABAQUS/Explicit容許用戶不必顧及自動時間增量。在第9.7節(jié)“摘要”中簡要地討論了人工時間增量控制。

在顯式分析中所采用的時間增量必須小于中心差分算子的穩(wěn)定極限。如果未能使用足夠小的時間增量則會導(dǎo)致不穩(wěn)定的解答。當(dāng)解答成為不穩(wěn)定時,求解變量(如位移)的時間歷史響應(yīng)一般會隨著振幅的增加而振蕩?？傮w的能量平衡也將發(fā)生顯著的變化。如果模型只包含一種材料,則初始時間增量是直接與網(wǎng)格中的最小單元尺寸成正比。如果網(wǎng)格中包含了均勻尺寸的單元但是卻包含有多種材料,那么具有最大波速的單元將決定初始的時間增量。

在具有大變形和/或非線性材料響應(yīng)的非線性問題中,模型的最高頻率將連續(xù)地變化,并因而導(dǎo)致穩(wěn)定極限的變化。對于時間增量的控制,ABAQUS/Explicit有兩種方案:完全的自動時間增量(程序中考慮了穩(wěn)定極限的變化)和固定的時間增量。

應(yīng)用兩種估算方法確定穩(wěn)定極限:逐個單元法和整體法。在分析開始時總是使用逐個單元估算法,并在一定的條件下轉(zhuǎn)變?yōu)檎w估算法。

逐個單元估算法是保守的;與基于整體模型最高頻率的真正的穩(wěn)定極限相比較,它將給出一個更小的穩(wěn)定時間增量。一般說來,約束(如邊界條件)和動力學(xué)接觸具有壓縮特征值響應(yīng)譜的效果,而逐個單元估算法沒有考慮這種效果。

另一方面,整體估算法應(yīng)用當(dāng)前的膨脹波波速確定整個模型的最高階頻率。這種算法為了得到最高頻率將連續(xù)地更新估算值。整體估算法一般地將允許時間增量超出逐個單元估算法得到的值。

在ABAQUS/Explicit中也提供了固定時間增量算法。確定固定時間增量的值或者采用在分析步中初始的逐個單元穩(wěn)定性估算法,或者采用由用戶直接指定的時間增量。當(dāng)要求更精確地表達(dá)問題的高階模態(tài)響應(yīng)時,固定時間增量算法可能是更有用的。在這種情況下,可能采用比逐個單元估算法更小的時間增量值。當(dāng)在分析步中應(yīng)用了固定時間增量, ABAQUS/Explicit將不再檢查計算的響應(yīng)是否穩(wěn)定。通過仔細(xì)地檢查能量歷史和其他的響應(yīng)變量,用戶應(yīng)當(dāng)確保得到了有效的響應(yīng)。

9.3.4 質(zhì)量縮放以控制時間增量

由于質(zhì)量密度影響穩(wěn)定極限,在某些情況下,縮放質(zhì)量密度能夠潛在地提高分析的效率。例如,許多模型需要復(fù)雜的離散,因此有些區(qū)域常常包含著控制穩(wěn)定極限的非常小或者形狀極差的單元。這些控制單元常常數(shù)量很少并且可能只存在于局部區(qū)域。通過僅增加這些控制單元的質(zhì)量,就可以顯著地增加穩(wěn)定極限,而對模型的整體動力學(xué)行為的影響是可以忽略的。

在ABAQUS/Explicit中的自動質(zhì)量縮放功能,可以阻止這些有缺陷的單元不影響穩(wěn)定極限。質(zhì)量縮放可以采用兩種基本方法:直接地定義一個縮放因子或者給那些質(zhì)量需要縮放的單元逐個地定義所需要的穩(wěn)定時間增量。這兩種方法都容許對穩(wěn)定極限附加用戶控制,詳細(xì)介紹請參考ABAQUS分析用戶手冊第7.15.1節(jié)“Mass scaling”。然而,當(dāng)采用質(zhì)量縮放時也要小心,因為模型質(zhì)量的顯著變化可能會改變問題的物理模型。

9.3.5 材料對穩(wěn)定極限的影響

材料模型通過它對膨脹制波波速的限制作用來影響穩(wěn)定極限。在線性材料中,波速是常數(shù);所以,在分析過程中穩(wěn)定極限的唯一變化來自于最小單元尺寸的變化。在非線性材料中,例如產(chǎn)生塑性的金屬材料,當(dāng)材料屈服和材料的剛度變化時波速發(fā)生變化。在整個分析過程中,ABAQUS/Explicit監(jiān)督在模型中材料的有效波速,并應(yīng)用在每個單元中的當(dāng)前材料狀態(tài)估算穩(wěn)定性。在屈服之后剛度下降,減小了波速并因而相應(yīng)地增加了穩(wěn)定極限。

9.3.6 網(wǎng)格對穩(wěn)定極限的影響

因為穩(wěn)定極限大致與最短的單元尺寸成比例,所以應(yīng)該優(yōu)先使單元的尺寸盡可能的大。遺憾的是,對于精確的分析采用一個細(xì)劃的網(wǎng)格常常是必要的。為了在滿足網(wǎng)格精度水平要求的前提下,盡可能地獲得最高的穩(wěn)定極限,最好的方法是采用一個盡可能均勻的網(wǎng)格。由于穩(wěn)定極限是基于在模型中最小的單元尺寸,甚至一個單獨的微小單元或者形狀極差的單元都能夠迅速地降低穩(wěn)定極限。為了便于發(fā)現(xiàn)問題, ABAQUS/Explicit在狀態(tài)文件(.sta)中提供了網(wǎng)格中具有最低穩(wěn)定極限的10個單元的清單。如果在模型中包含了一些穩(wěn)定極限比網(wǎng)格中其它單元小得多的單元,將模型網(wǎng)格重新劃分使其更加均勻可能是值得的。

9.3.7 數(shù)值不穩(wěn)定性

在大多數(shù)情況下,ABAQUS/Explicit對于大多數(shù)單元保持了穩(wěn)定。但是,如果定義了彈簧和減振器單元,它們在分析過程中有可能成為不穩(wěn)定。因此,能夠在你的分析過程中識別是否發(fā)生了數(shù)值不穩(wěn)定性是非常有用的。如果確實發(fā)生了數(shù)值不穩(wěn)定,典型的情況是結(jié)果是無界的,沒有物理意義的,而且常常解是振蕩的。

開放分享：優(yōu)質(zhì)有限元技術(shù)文章,助你自學(xué)成才