Abaqus線性動(dòng)態(tài)分析

2013-08-14 by:大型設(shè)備有限元分析中心來源:仿真在線

Abaqus線性動(dòng)態(tài)分析

如果你只對結(jié)構(gòu)承受載荷后的長期響應(yīng)感興趣,靜力分析(static analysis)是足夠的。然而,如果加載時(shí)間很短(例如在地震中)或者如果載荷在性質(zhì)上是動(dòng)態(tài)的(例如來自旋轉(zhuǎn)機(jī)械的荷載),你就必須采用動(dòng)態(tài)分析(dynamic analysis)。本章將討論應(yīng)用ABAQUS/Standard進(jìn)行線性動(dòng)態(tài)分析;關(guān)于應(yīng)用ABAQUS/Explicit進(jìn)行非線性動(dòng)態(tài)分析的討論,請參閱第9章“非線性顯式動(dòng)態(tài)分析”。

7.1 引言

動(dòng)態(tài)模擬是將慣性力包含在動(dòng)力學(xué)平衡方程中:

其中

M 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

結(jié)構(gòu)的加速度。

在結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力。

P 所施加的外力。

在上面公式中的表述是牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律(F = ma)。

在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)分析之間最主要的區(qū)別是在平衡方程中包含了慣性力(M)。在兩類模擬之間的另一個(gè)區(qū)別在于內(nèi)力的定義。在靜態(tài)分析中,內(nèi)力僅由結(jié)構(gòu)的變形引起;而在動(dòng)態(tài)分析中,內(nèi)力包括源于運(yùn)動(dòng)(例如阻尼)和結(jié)構(gòu)的變形的貢獻(xiàn)。

7.1.1 固有頻率和模態(tài)

最簡單的動(dòng)態(tài)問題是在彈簧上的質(zhì)量自由振動(dòng),如圖7-1所示。

圖7–1 質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

在彈簧中的內(nèi)力給出為,所以它的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為

這個(gè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的固有頻率(natral frequency)(單位是弧度/秒(rad/s))給出為

如果質(zhì)量塊被移動(dòng)后再釋放,它將以這個(gè)頻率振動(dòng)。若以此頻率施加一個(gè)動(dòng)態(tài)外力,位移的幅度將劇烈增加,這種現(xiàn)象即所謂的共振。

實(shí)際結(jié)構(gòu)具有大量的固有頻率。因此在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)時(shí),非常重要的是避免使可能的載荷頻率過分接近于固有頻率。通過考慮非加載結(jié)構(gòu)(在動(dòng)平衡方程中令)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可以確定固有頻率。則運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?

對于無阻尼系統(tǒng),,因此有

這個(gè)方程的解具有形式為

將此式代入運(yùn)動(dòng)方程,得到了特征值(eigenvalue)問題

其中。

該系統(tǒng)具有個(gè)特征值,其中是在有限元模型中的自由度數(shù)目。記是第個(gè)特征值;它的平方根是結(jié)構(gòu)的第階模態(tài)的固有頻率(natural frequency),而是相應(yīng)的第階特征向量(eigenvector)。特征向量也就是所謂的模態(tài)(mode shape)(也稱為振型),因?yàn)樗墙Y(jié)構(gòu)以第階模態(tài)振動(dòng)的變形形狀。

在ABAQUS/Standard中,應(yīng)用頻率的提取過程確定結(jié)構(gòu)的振型和頻率。這個(gè)過程應(yīng)用起來十分容易,你只要指出所需要的振型數(shù)目或所關(guān)心的最高頻率即可。

7.1.2 振型疊加

在線性問題中,可以應(yīng)用結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型來定性它在載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。采用振型疊加(modal superposition)技術(shù),通過結(jié)構(gòu)的振型組合可以計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形,每一階模態(tài)乘以一個(gè)標(biāo)量因子。在模型中的位移矢量定義為

其中是振型的標(biāo)量因子。這一技術(shù)僅在模擬小變形、線彈性材料和無接觸條件的情況下是有效的,換句話說,即線性問題。

在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題中,結(jié)構(gòu)的響應(yīng)往往被相對較少的幾階振型控制,在計(jì)算這類系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí),應(yīng)用振型疊加成為特別有效的方法?？紤]一個(gè)含有10,000個(gè)自由度的模型,對動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程的直接積分將在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上同時(shí)需要聯(lián)立求解10,000個(gè)方程。如果通過100個(gè)振型來描述結(jié)構(gòu)的響應(yīng),則在每個(gè)時(shí)間增量步上只需求解100個(gè)方程。更重要的是,振型方程是解耦的,而原來的運(yùn)動(dòng)方程是耦合的。在計(jì)算振型和頻率的過程中,開始時(shí)需要一點(diǎn)成本,但是,在計(jì)算響應(yīng)時(shí)將會(huì)節(jié)省大量的計(jì)算花費(fèi)。

如果在模擬中存在非線性,在分析中固有頻率會(huì)發(fā)生明顯的變化,因此振型疊加法將不再適用。在這種情況下,只能要求對動(dòng)力平衡方程直接積分,它所花費(fèi)的時(shí)間比振型分析昂貴得多。

必須具備下列特點(diǎn)的問題才適合于進(jìn)行線性瞬態(tài)動(dòng)力分析:

Ÿ 系統(tǒng)應(yīng)該是線性的:線性材料行為,無接觸條件,以及沒有非線性幾何效應(yīng)。

Ÿ 響應(yīng)應(yīng)該只受相對少數(shù)的頻率支配。當(dāng)在響應(yīng)中頻率的成分增加時(shí),諸如是打擊和碰撞的問題,振型疊加技術(shù)的效率將會(huì)降低。

Ÿ 載荷的主要頻率應(yīng)該在所提取的頻率范圍之內(nèi),以確保對載荷的描述足夠精確。

Ÿ 應(yīng)用特征模態(tài),應(yīng)該精確地描述由于任何突然加載所產(chǎn)生的初始加速度。

Ÿ 系統(tǒng)的阻尼不能過大。

7.2 阻尼

如果允許一個(gè)無阻尼結(jié)構(gòu)做自由振動(dòng),則它的振幅會(huì)是一個(gè)常數(shù)。然而在實(shí)際中,能量被結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)耗散,振動(dòng)的幅度減小直至振動(dòng)停止。這種能量耗散被稱為阻尼(damping)。通常假定阻尼為粘滯的,或者正比于速度。包含阻尼的動(dòng)力平衡方程可以重新寫為

其中

C 是結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣

是結(jié)構(gòu)的速度。

能量耗散來自于諸多因素,其中包括結(jié)構(gòu)連接處的摩擦和局部材料的遲滯效應(yīng)。阻尼是一種很方便的方法,它包含了重要的能量吸收而又無需模擬具體的效果。

在ABAQUS/Standard中,特征模態(tài)的計(jì)算是關(guān)于無阻尼系統(tǒng)的。然而,大多數(shù)工程問題都包含某種阻尼,盡管阻尼可能很小。對于每個(gè)模態(tài),在有阻尼和無阻尼的固有頻率之間的關(guān)系是

其中

是阻尼特征值,

是臨界阻尼比,

是該振型的阻尼,

是臨界阻尼。

對于的較小值(),有阻尼系統(tǒng)的特征頻率非常接近于無阻尼系統(tǒng)的相應(yīng)值;當(dāng)增大時(shí),無阻尼系統(tǒng)的特征頻率成為不太準(zhǔn)確的;而當(dāng)接近于1時(shí),采用無阻尼系統(tǒng)的特征頻率就成為無效的。

如果結(jié)構(gòu)是處于臨界阻尼(),在任何擾動(dòng)后,結(jié)構(gòu)不會(huì)有擺動(dòng)而是盡可能迅速地恢復(fù)到它的初始靜止構(gòu)形。(見圖7-2)

圖7–2 阻尼

7.2.1 在ABAQUS/Standard中阻尼的定義

對于瞬時(shí)模態(tài)分析,在ABAQUS/Standard中可以定義一些不同類型的阻尼:直接模態(tài)阻尼(direct modal damping),瑞利阻尼(Rayleigh damping)和復(fù)合模態(tài)阻尼(composite modal damping)。

阻尼是針對模態(tài)動(dòng)力學(xué)過程定義的,阻尼是分析步定義的一部分,每階模態(tài)可以定義不同量值的阻尼。

直接模態(tài)阻尼

應(yīng)用直接模態(tài)阻尼可以定義與每階模態(tài)相關(guān)的臨界阻尼比,其典型的取值范圍是在臨界阻尼的1%到10%之間。直接模態(tài)阻尼允許用戶精確地定義系統(tǒng)的每階模態(tài)的阻尼。

Rayleigh阻尼

在Rayleigh阻尼中,假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量和剛度矩陣的線性組合,

其中和是由用戶定義的常數(shù)。盡管阻尼是正比于質(zhì)量和剛度矩陣的假設(shè)沒有嚴(yán)格的物理基礎(chǔ),實(shí)際上我們對于阻尼的分布知之甚少,也就不能保證其它更為復(fù)雜的模型是正確的。一般的,這個(gè)模型對于大阻尼系統(tǒng)不可靠;即超過臨界阻尼的大約10%。相對于其它形式的阻尼,你可以精確地定義系統(tǒng)的每階模態(tài)的Rayleigh阻尼。

對于一個(gè)給定模態(tài)i,臨界阻尼值為,而Rayleigh阻尼值和的關(guān)系為

復(fù)合阻尼

在復(fù)合阻尼中,對于每種材料定義一個(gè)臨界阻尼比,這樣就得到了對應(yīng)于整體結(jié)構(gòu)的復(fù)合阻尼值。當(dāng)結(jié)構(gòu)中有多種不同的材料時(shí),這一選項(xiàng)是有用的。在本指南中將不對復(fù)合阻尼做進(jìn)一步的討論。

7.2.2 選擇阻尼值

在大多數(shù)線性動(dòng)力學(xué)問題中,恰當(dāng)?shù)囟x阻尼對于獲得精確的結(jié)果是十分重要的。但是,在某種意義上阻尼只是近似地模擬了結(jié)構(gòu)吸收能量的特性,并非試圖去模擬引起這種效果的物理機(jī)制。因此,在模擬中確定所需要的阻尼數(shù)據(jù)是很困難的。偶爾,你可以從動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中獲得這些數(shù)據(jù),但是,你不得不通過查閱參考資料或者經(jīng)驗(yàn)獲得這些數(shù)據(jù)。在這些情況下,你必須十分謹(jǐn)慎地解釋模擬結(jié)果,并通過參數(shù)分析研究來評估模擬對于阻尼值的敏感性。

7.3 單元選擇

事實(shí)上,ABAQUS的所有單元均可用于動(dòng)態(tài)分析,選取單元的一般原則與靜力分析相同。但是,在模擬沖擊和爆炸載荷時(shí),應(yīng)該選用一階單元,因?yàn)樗鼈兙哂屑匈|(zhì)量公式,這種公式模擬應(yīng)力波的效果優(yōu)于二階單元采用的一致質(zhì)量公式。

7.4 動(dòng)態(tài)問題的網(wǎng)格剖分

當(dāng)你正在設(shè)計(jì)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)模擬的網(wǎng)格時(shí),你需要考慮在響應(yīng)中將被激發(fā)的振型,并且使所采用的網(wǎng)格能夠充分地反映出這些振型。這意味著能夠滿足靜態(tài)模擬的網(wǎng)格,不一定能夠計(jì)算由于加載激發(fā)的高頻振型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

例如,考慮圖7-3所示的板。一階殼單元的網(wǎng)格對于板受均布載荷的靜力分析是適合的,并也適合于一階振型的預(yù)測。但是,該網(wǎng)格是明顯地過于粗糙以至于不能夠精確地模擬第六階振型。

圖7–3 板的粗網(wǎng)格

圖7-4顯示了同樣的板采用了一階單元的精細(xì)網(wǎng)格的模擬?，F(xiàn)在,第六階振型的位移形狀看起來明顯變好,對于該階振型所預(yù)測的頻率更加準(zhǔn)確。如果作用在板上的動(dòng)態(tài)載荷會(huì)顯著地激發(fā)該階振型,則必須采用精細(xì)的網(wǎng)格;采用粗網(wǎng)格將得不到準(zhǔn)確的結(jié)果。

圖7–4 板的精細(xì)網(wǎng)格

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