Abaqus單元的數(shù)學(xué)描述和積分——減縮積分

2013-08-14  by:Abaqus分析實(shí)例教學(xué)  來(lái)源:仿真在線

Abaqus單元的數(shù)學(xué)描述和積分——減縮積分

只有四邊形和六面體單元才能采用減縮積分方法;而所有的楔形體、四面體和三角形實(shí)體單元采用完全積分,盡管它們與減縮積分的六面體或四邊形單元采用相同的網(wǎng)格。

減縮積分單元比完全積分單元在每個(gè)方向少用一個(gè)積分點(diǎn)。減縮積分的線性單元只在單元的中心有一個(gè)積分點(diǎn)。(實(shí)際上,在ABAQUS中這些一階單元采用了更精確的均勻應(yīng)變公式,即計(jì)算了單元應(yīng)變分量的平均值。對(duì)于所討論的這種區(qū)別并不重要。)對(duì)于減縮積分的四邊形單元,積分點(diǎn)的位置如圖4-7所示。

圖4-7 采用減縮積分的二維單元的積分點(diǎn)

應(yīng)用前面曾用到的四種單元的減縮積分形式和在圖4-3所示的四種有限元網(wǎng)格,ABAQUS模擬了懸臂梁?jiǎn)栴},其結(jié)果列于表4-2中。

表4-2 采用減縮積分單元的梁撓度比值

線性的減縮積分單元由于存在著來(lái)自本身的所謂沙漏(hourglassing)數(shù)值問(wèn)題而過(guò)于柔軟。為了說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題,再次考慮用單一減縮單元模擬受純彎曲載荷的一小塊材料(見(jiàn)圖4-8)。

圖4-8 受彎矩M的減縮積分線性單元的變形

單元中虛線的長(zhǎng)度沒(méi)有改變,它們之間的夾角也沒(méi)有改變,這意味著在單元單個(gè)積分點(diǎn)上的所有應(yīng)力分量均為零。由于單元變形沒(méi)有產(chǎn)生應(yīng)變能,這種變形的彎曲模式是如此一個(gè)零能量模式。由于單元在此模式下沒(méi)有剛度,所以單元不能抵抗這種形式的變形。在粗劃網(wǎng)格中,這種零能量模式會(huì)通過(guò)網(wǎng)格擴(kuò)展,從而產(chǎn)生無(wú)意義的結(jié)果。

ABAQUS在一階減縮積分單元中引入了一個(gè)小量的人工“沙漏剛度”以限制沙漏模式的擴(kuò)展。在模型中應(yīng)用的單元越多,這種剛度對(duì)沙漏模式的限制越有效,這說(shuō)明只要合理地采用細(xì)劃的網(wǎng)格,線性減縮積分單元可以給出可接受的結(jié)果。對(duì)多數(shù)問(wèn)題而言,采用線性減縮積分單元的細(xì)劃網(wǎng)格所產(chǎn)生的誤差(見(jiàn)表4-2)是在一個(gè)可接受的范圍之內(nèi)。結(jié)果建議當(dāng)采用這類(lèi)單元模擬承受彎曲載荷的任何結(jié)構(gòu)時(shí),沿厚度方向上至少應(yīng)采用四個(gè)單元。當(dāng)沿梁的厚度方向采用單一線性減縮積分單元時(shí),所有的積分點(diǎn)都位于中性軸上,該模型是不能抵抗彎曲載荷的。(這種情況在表4-2中用*標(biāo)出。)

線性減縮積分單元能夠容忍扭曲變形;因此,在任何扭曲變形很大的模擬中可以采用網(wǎng)格細(xì)劃的這類(lèi)單元。

在ABAQUS/Standard中,二次減縮積分單元也有沙漏模式。然而,在正常的網(wǎng)格中這種模式幾乎不能擴(kuò)展,并且在網(wǎng)格足夠加密時(shí)不會(huì)產(chǎn)生什么問(wèn)題。由于沙漏,除非在梁的寬度上布置兩個(gè)單元,C3D20R單元的1´6網(wǎng)格不收斂,但是,更細(xì)劃的網(wǎng)格卻收斂了,即便在寬度方向上只采用一個(gè)單元。即使在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,二次減縮積分單元對(duì)自鎖不敏感。因此,除了包含大應(yīng)變的大位移模擬和某些類(lèi)型的接觸分析之外,這些單元一般是最普遍的應(yīng)力/位移模擬的最佳選擇。

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