有限元方法的基礎(chǔ)：變分原理和加權(quán)余量法

2017-06-04 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

一、有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法

有限元法的基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元,在每個(gè)單元內(nèi),選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn),將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ,借助于變分原理或加權(quán)余量法,將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式,便構(gòu)成不同的有限元方法。

在有限元方法中,把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元,在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù),用單元基函數(shù)的線形組合來(lái)逼近單元中的真解,整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的,則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。

常見(jiàn)的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來(lái)的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同,有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來(lái)說(shuō),有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法,從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來(lái)劃分,有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格,從插值函數(shù)的精度來(lái)劃分,又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。

對(duì)于權(quán)函數(shù),伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù) ;最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身,而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最小;在配置法中,先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn) 。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程,即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成,但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示,但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。

有限元插值函數(shù)分為兩大類,一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值,稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值;另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身,還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值,稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無(wú)因次自然坐標(biāo),有對(duì)稱和不對(duì)稱等。

常采用的無(wú)因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系,它的定義取決于單元的幾何形狀,一維看作長(zhǎng)度比,二維看作面積比,三維看作體積比。在二維有限元中,三角形單元應(yīng)用的最早,近來(lái)四邊形等參元的應(yīng)用也越來(lái)越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元,常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。

對(duì)于有限元方法,其基本思路和步驟可歸納為:

(1) 建立積分方程,根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理,建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式,這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。

(2) 區(qū)域單元剖分,根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn),將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作,這部分工作量比較大,除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外,還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo),同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。

(3) 確定單元基函數(shù),根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的,由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀,在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。

(4) 單元分析:將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近;再將近似函數(shù)代入積分方程,并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分,可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組,稱為單元有限元方程。

(5) 總體合成:在得出單元有限元方程之后,將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn) 行累加,形成總體有限元方程。

(6) 邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件, 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件,需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。

(7) 解有限元方程:根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉方程組,采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解,可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值

二、Comsol軟件采用的是加權(quán)余值法

有限元法的最主要的一個(gè)特點(diǎn)就是把要求的方程偏微分形式轉(zhuǎn)化成積分形式,而這一過(guò)程主要通過(guò)兩個(gè)途徑:加權(quán)余值法和變分法。而等效積分弱形式是針對(duì)加權(quán)余值法來(lái)說(shuō)的。把強(qiáng)形式轉(zhuǎn)化為弱形式,是前期有限元的核心技術(shù);隨著技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展,才慢慢將變分法引入到有限元,從一定程度上說(shuō),變分法比加權(quán)余值更加先進(jìn)合理。

其實(shí)現(xiàn)在的變分法還在逐漸進(jìn)步和發(fā)展,當(dāng)然也有一些爭(zhēng)議,比如對(duì)我國(guó)胡海昌院士提出的廣義變分原理獨(dú)立變量數(shù)目的爭(zhēng)議,但總體來(lái)說(shuō),變分法是優(yōu)越于加權(quán)余值法的。這也是為什么大部分商業(yè)cae軟件采用變分法的原因(COMSOL,FEPG除外)!

將微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式,這個(gè)弱并不是弱化對(duì)方程解的結(jié)果,而是弱化對(duì)解方程得要求,具體點(diǎn)是弱化待求變量的連續(xù)性,當(dāng)然這種弱化是以提高權(quán)函數(shù)的連續(xù)性為代價(jià)的。通過(guò)引入權(quán)函數(shù)或試函數(shù),將微分方程轉(zhuǎn)化為等效積分方程,要使這一積分形式有解或者說(shuō)存在,就必須對(duì)權(quán)函數(shù)和待求變量加以限制,將等效積分形式分步積分,得到的形式就稱為等效積分弱形式。因?yàn)榉植椒e分后,算子導(dǎo)數(shù)階次降低,對(duì)待求變量的連續(xù)性降低,這就起到了弱化作用,將近似解帶入微分方程會(huì)有余值,而這余值形式中又有我們前面引入的權(quán)函數(shù),所以我們把這種余值的加權(quán)積分,稱為加權(quán)余值法,這一名稱應(yīng)該就是這么來(lái)的。

為了保證微分形式和積分形式是等效的 ,引入的權(quán)函數(shù)必須任意的,如果選權(quán)函數(shù)為待求變量解前面的形函數(shù),那么這一形式就變成我們所說(shuō)的伽遼金法(Galerkin法),因此可以說(shuō),伽遼金法是眾多加權(quán)余值法中的一種,都是在近似試函數(shù)中選擇參數(shù),得到近似解。而里茲法(Ritz) 是基于變分原理的。有些人總不分變分和加權(quán)殘值法,其實(shí)這兩種方法是不同的,雖然有時(shí)候是等效的。

個(gè)人最為推崇的有限元理論基礎(chǔ)是微分方程的“弱積分形式”,因?yàn)樗倪m用范圍更廣。前面大家說(shuō)的,虛位移原理,最小勢(shì)能原理或者是哈密頓原理,變分原理....都是限于力學(xué)問(wèn)題的。其實(shí)這里的幾種方法都可以看做是力學(xué)變分原理的推導(dǎo)結(jié)果,說(shuō)白了,分析力學(xué)上面都有這些內(nèi)容。

對(duì)于非力學(xué)問(wèn)題,我們很難采用上面的原理,說(shuō)到變分呢,如果不能構(gòu)造相應(yīng)的泛函,變分形式就難以獲得。反觀“等效積分弱形式”,可以包括所有的問(wèn)題,由此,我們可以建立迦遼金形式的標(biāo)準(zhǔn)有限元和非標(biāo)準(zhǔn)有限元。

加權(quán)余量求解偏微分方程步驟:

(1) 初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解;

(2) 結(jié)合問(wèn)題的邊界條件對(duì)嘗試函數(shù)進(jìn)行修正,以簡(jiǎn)化求解;

(3) 寫出余數(shù)表達(dá)式;

(4) 寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式(迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù));

(5) 令權(quán)余數(shù)表達(dá)式在各嘗試函數(shù)下為0,得到代數(shù)方程組,解之得到待定系數(shù),從而確定近似解。

有限元方法的基礎(chǔ)：變分原理和加權(quán)余量法ansys結(jié)構(gòu)分析圖片1