對于顯式與隱式有限元的理解

2017-05-08  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

基于動力學(xué)方程,因此無需迭代;而靜態(tài)隱式算法基于虛功原理,一般需要迭代計算。顯式算法,最大優(yōu)點(diǎn)是有較好的穩(wěn)定性。
動態(tài)顯式算法采用動力學(xué)方程的一些差分格式(如廣泛使用的中心差分法、線性加速度法、Newmark法和wilson法等),不用直接求解切線剛度,不需要進(jìn)行平衡迭代,計算速度快,時間步長只要取的足夠小,一般不存在收斂性問題。因此需要的內(nèi)存也比隱式算法要少。并且數(shù)值計算過程可以很容易地進(jìn)行并行計算,程序編制也相對簡單。但顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對角矩陣,而且只有在單元級計算盡可能少時速度優(yōu)勢才能發(fā)揮,因而往往采用減縮積分方法,容易激發(fā)沙漏模式,影響應(yīng)力和應(yīng)變的計算精度。
靜態(tài)顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler向前差分法,不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿足,所以得出的結(jié)果會慢慢偏離正確值。為了減少相關(guān)誤差,必須每步使用很小的增量。

隱式算法中,在每一增量步內(nèi)都需要對靜態(tài)平衡方程進(jìn)行迭代求解,并且每次迭代都需要求解大型的線性方程組,這以過程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計算資源、磁盤空間和內(nèi)存。該算法中的增量步可以比較大,至少可以比顯式算法大得多,但是實際運(yùn)算中上要受到迭代次數(shù)及非線性程度的限制,需要取一個合理值。

使用顯式方法,計算成本消耗與單元數(shù)量成正比,并且大致與最小單元的尺寸成反比,應(yīng)用隱式方法,經(jīng)驗表明對于許多問題的計算成本大致與自由度數(shù)目的平方成正比,因此如果網(wǎng)格是相對均勻的,隨著模型尺寸的增長,顯式方法表明比隱式方法更加節(jié)省計算成本。

a)在求解動力學(xué)問題時,將方程在空間上采用有限元法(或其他方法)進(jìn)行離散后,變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探MF=M(u)+C(u)+K(u)。求解這種方程的其中兩種方法為,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解決動力學(xué)問題被稱為顯式算法,采用Newmark法解決動力學(xué)問題被稱為隱式算法。
b)在求解動力學(xué)問題時,離散元法(也有其他方法)主要有兩種思想:動態(tài)松弛法(向后時步迭代),靜態(tài)松弛法(每一步要平衡)。動態(tài)松弛法是顯式算法,靜態(tài)松弛法是隱式算法。其中沖壓成型就是動態(tài)松弛法的主要例子。
c)在求解靜力學(xué)問題時,有時候?qū)⑵淇醋鲃恿W(xué)問題來處理而采用動態(tài)松弛法,這是顯式算法。Flac就是主要例子。

四、總結(jié):

1)求解線性靜力學(xué)問題,雖然求解線性方程組,但是沒有時步的關(guān)系,所以不應(yīng)將其看作隱式算法。

2)求解非線性靜力學(xué)問題,雖然求解過程需要迭代,或者是增量法,但是沒有明顯的時步問題,所以不應(yīng)將其看作隱式算法。

3)靜態(tài)松弛法,可以認(rèn)為是將動力學(xué)問題看作靜力學(xué)問題來解決,每一步達(dá)到靜力平衡,需要數(shù)值阻尼。

4)動態(tài)松弛法,可以認(rèn)為是將靜力學(xué)問題或者動力學(xué)問題,分為時步動力學(xué)問題,采用向后時步迭代的思想計算。對于解決靜力學(xué)問題時,需要人工阻尼。

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