應(yīng)力客觀率是什么？

2017-03-15  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

因為一直在研究非線性、大變形的固體力學(xué),我來試著回答一下。簡單的來講,objective rate是對應(yīng)力變化率的一個測定,它在剛體旋轉(zhuǎn)的情況下為0,這就是所謂的“客觀”。下面深入介紹一下。

要了解什么叫做objective rate不如先來了解什么樣的rate不objective。我主要參考了Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures,作者 Ted Belytschko等。加上了一點自己的理解。

首先我假定你知道最常見的Cauchy stress tensor,

。然后進行以下定義(雖然很常見,但不同書上記法不同所以還是申明一下):

一個固體微元速度為

,定義速度梯度張量velocity gradient tensor為

現(xiàn)在有一個hypoelastic材料,其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由如下本構(gòu)方程描述:

那么這個本構(gòu)方程是一個有效的方程嗎?答案是否定的。為什么呢?看下圖。;

在剛體轉(zhuǎn)動中,固體的初始應(yīng)力狀態(tài)是“凍結(jié)”住的,也就是說對于一個騎在這根桿上的觀察者來說應(yīng)力是不變的。(這句話有嚴格證明,不過因為直觀上很好理解,我略去證明過程)那么對于地面上的觀察者來說,Cauchy stress顯然變了,也就是說
回頭看(1)中的本構(gòu)方程,左邊不為0,右邊卻為0,顯然它作為一個描述材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的方程來講是失敗了。在實際情況中,大尺度的轉(zhuǎn)動很常見,要想處理好這些情況,我們就不得不另找一個stress rate來代替 ,使得在剛體轉(zhuǎn)動中,在初始參考系下,初始的應(yīng)力狀態(tài)保持不變,這樣的stress rate就叫做objective rate,也叫做frame-invariant rate。題主問的Green-Naghdi rate就是其中的一種。
下面介紹三種objective rate,其中就包括題主問的Green-Naghdi rate。

• Jaumann rate

還是考慮一樣的問題,我們在(1)式右邊加上兩項,這兩項專門用來對付剛體旋轉(zhuǎn):

其中 是上文介紹的spin tensor。(2)中等號右邊第一項是材料變形的結(jié)果,后兩項是剛體旋轉(zhuǎn)的結(jié)果。(證明略)
(2)是一個有效的本構(gòu)方程。我們改寫一下使其更簡潔:

其中
這 就是著名的Jaumann rate.

• Green-Naghdi rate

Green-Naghdi rate與Jaumann rate的區(qū)別僅在于對剛體旋轉(zhuǎn)的描述上。下面是它的定義:

這里

其中 是剛體旋轉(zhuǎn)的矩陣,并且每個deformation tensor中都可以分解為一個rigid body rotation tensor點乘一個stretch tensor(證明略)。
Green-Naghdi rate一樣可以解決開頭提出的問題,也常被用在本構(gòu)方程中。

• Truesdell rate

也是一個常用的objective rate,定義是

其中
在小變形的情形下,用不到這些。但如果你要考慮大尺度變形、旋轉(zhuǎn)什么的,這些objective rate就要派上用場了。但hyperelastic material又是例外,因為它在變形過程中保持strain energy potential恒定這個特點為我們提供一個天然的objective的框架。
希望我把問題說明白了。想深入學(xué)習(xí)請參考我開頭提到的書。

作者:Leny

鏈接:https://www.zhihu.com/question/33043331/answer/57293954

來源:知乎

版權(quán)歸原作者所有

相關(guān)標簽搜索：應(yīng)力客觀率是什么？ Ansys有限元培訓(xùn) Ansys workbench培訓(xùn) ansys視頻教程 ansys workbench教程 ansys APDL經(jīng)典教程 ansys資料下載 ansys技術(shù)咨詢 ansys基礎(chǔ)知識 ansys代做 Fluent、CFX流體分析 HFSS電磁分析 Abaqus培訓(xùn)