應(yīng)力"奇點(diǎn)"(Stress singularity)

2017-03-23 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

在宇宙大爆炸理論中,“奇點(diǎn)”是宇宙演化的起點(diǎn),它具有一系列奇異的性質(zhì),比如無(wú)限大的物質(zhì)密度,無(wú)限大的壓力,無(wú)限彎曲的時(shí)空等,同時(shí)在黑洞(blackhole)理論中,也將黑洞中心無(wú)限大的密度比作奇點(diǎn)。而在有限元分析FEA中,同樣存在著“奇點(diǎn)”,那就是應(yīng)力(stress)無(wú)窮大的點(diǎn)(隨著網(wǎng)格細(xì)化無(wú)限增大的點(diǎn))。

應(yīng)力"奇點(diǎn)"(Stress singularity)ansys分析案例圖片1

我們知道,有限元法是數(shù)值算法,而數(shù)值算法就涉及到解的收斂性,如果解沒(méi)有收斂就可能導(dǎo)致奇點(diǎn)或者奇異性(singularity)的產(chǎn)生。今天我們將討論應(yīng)力“奇點(diǎn)”(stress singularity)。

應(yīng)力奇點(diǎn)(Stress singularities)

在結(jié)構(gòu)分析中,我們知道軟件內(nèi)部在計(jì)算時(shí)先計(jì)算出節(jié)點(diǎn)位移(displacements),然后再通過(guò)數(shù)學(xué)方程導(dǎo)出應(yīng)力(stress)。應(yīng)力奇點(diǎn)的出現(xiàn)往往就是某個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力導(dǎo)出值不收斂,我們?cè)绞羌?xì)化網(wǎng)格,此處的應(yīng)力值就會(huì)越大,理論上,隨著網(wǎng)格的細(xì)化,應(yīng)力值會(huì)趨于無(wú)窮大(infinite)。

應(yīng)力奇點(diǎn)發(fā)生的典型位置一般出現(xiàn)在點(diǎn)加載、點(diǎn)接觸、點(diǎn)約束、90°拐角(無(wú)圓角)等位置。如下圖所示的點(diǎn)加載和90°拐角的例子。

應(yīng)力"奇點(diǎn)"(Stress singularity)ansys分析案例圖片2

一個(gè)平板在端面的載荷,一個(gè)是集中在一點(diǎn),一個(gè)是均勻分布在端面。在點(diǎn)加載附近會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力奇點(diǎn),而均勻載荷不會(huì)。(但是比較兩圖可以發(fā)現(xiàn),在稍微遠(yuǎn)離點(diǎn)載荷的地方,應(yīng)力的分布和均勻載荷是一樣的)

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在90°拐角位置,最大壓縮應(yīng)力和最大拉伸應(yīng)力發(fā)生在同一點(diǎn),隨著網(wǎng)格的細(xì)化,兩種力都會(huì)隨之不斷增加。(當(dāng)然,現(xiàn)實(shí)情況中,這種無(wú)圓角的部件是制造不出來(lái)的,多少會(huì)有個(gè)小圓角,所以不可能出現(xiàn)應(yīng)力奇點(diǎn),但根據(jù)圓角大小的不同,小圓角會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中)

圣維南原理(St. Venant’s Principle)

雖然應(yīng)力在某些地方會(huì)趨于無(wú)限,而且是無(wú)法避免的。但這并不意味著模型在其它區(qū)域的結(jié)果不正確。

首先,位移在全局都是正確的,即使在應(yīng)力奇點(diǎn)處位移也是正確的,不存在位移奇點(diǎn)一說(shuō)。
其次,應(yīng)力奇點(diǎn)只影響奇點(diǎn)附件比較小的區(qū)域,離開(kāi)一定距離后,應(yīng)力值仍然是對(duì)的。

這種情形就是有限元分析中有名的圣維南原理(St. Venant’s Principle)

圣維南原理(Saint Venant’s Principle)是彈性力學(xué)的基礎(chǔ)性原理,是法國(guó)力學(xué)家圣維南于1855年提出的。其內(nèi)容是:分布于彈性體上一小塊面積(或體積)內(nèi)的荷載所引起的物體中的應(yīng)力,在離荷載作用區(qū)稍遠(yuǎn)的地方,基本上只同荷載的合力和合力矩有關(guān);荷載的具體分布只影響荷載作用區(qū)附近的應(yīng)力分布。還有一種等價(jià)的提法:如果作用在彈性體某一小塊面積(或體積)上的荷載的合力和合力矩都等于零,則在遠(yuǎn)離荷載作用區(qū)的地方,應(yīng)力就小得幾乎等于零。不少學(xué)者研究過(guò)圣維南原理的正確性,結(jié)果發(fā)現(xiàn),它在大部分實(shí)際問(wèn)題中成立。

所以,有了圣維南原理,我們對(duì)有限元分析的模型處理就有了有力的理論支撐,比如對(duì)于我們不關(guān)心的區(qū)域我們完全可以簡(jiǎn)化模型方便計(jì)算和網(wǎng)格劃分。

應(yīng)力"奇點(diǎn)"(Stress singularity)ansys結(jié)果圖片4

圣維南原理示意圖,說(shuō)明點(diǎn)加載影響的區(qū)域,在遠(yuǎn)離點(diǎn)加載區(qū)域,應(yīng)力是分布均勻的

如何處理應(yīng)力奇點(diǎn)

應(yīng)力奇點(diǎn)在有限元分析FEA中很常見(jiàn),但很多時(shí)候,奇點(diǎn)區(qū)域我們并不關(guān)心。所以

忽略應(yīng)力奇點(diǎn),如果不關(guān)心奇點(diǎn)區(qū)域的應(yīng)力分布,根據(jù)圣維南原理,遠(yuǎn)離奇點(diǎn)的位置應(yīng)力分布不受影響仍然是正確的。
另外,我們知道,在有限元分析劃分網(wǎng)格時(shí),過(guò)多的圓角,特別是小圓角會(huì)使網(wǎng)格劃分出現(xiàn)問(wèn)題,但有了圣維南原理,如果我們不關(guān)心圓角區(qū)域的應(yīng)力分布,我們可以把小圓角去掉方便網(wǎng)格的劃分,計(jì)算成本也會(huì)減小。
現(xiàn)實(shí)條件下,無(wú)限應(yīng)力是不會(huì)產(chǎn)生的,比如90°拐角不可能加工出來(lái)。另外,由于材料本身會(huì)產(chǎn)生屈服,應(yīng)力不可能無(wú)限增大。在非線性分析時(shí),由于需要考慮材料的塑形區(qū)域,軟件會(huì)自動(dòng)消除應(yīng)力奇點(diǎn)(因?yàn)檫^(guò)了彈性區(qū)域,塑形的存在使應(yīng)力會(huì)有極限值)。

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