這是一個非線性的世界（Nonlinear World）

2017-03-23 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網

線形(linear)和非線性(nonlinear)分析是有限元分析中兩大“雙塔”,線形問題總是我們所擅長或者樂意研究的,因為其夠簡單,分析成本低。但本質上說,這個世界主要還是非線性居多,線形總隱含著小變形、小應變、小的旋轉、小的溫度變化等等前提條件,但即使是“小”,也不會是數(shù)學上嚴格意義的真正線性,不會是一條完美的直線。不過你也不必驚慌,雖然不是完美的線形,但我們并不需要那么完美同樣可以在“小”的前提下得到較為精確的結果,所以很多工程師都樂意把問題簡化為線形分析。

一旦我們進入非線性的世界,那么我們將踏上“未知”的旅程。下圖展現(xiàn)了一個典型的非線性的歷程。橫坐標為位移,縱坐標為載荷,在非線性計算中,載荷的施加也是離散疊加的,如圖中所示我們先施加10%的載荷(實際情況中沒這么大,往往很小如0.1%),第一個線形逼近(有限元分析是數(shù)值算法,是多項式的線形逼近過程)沒有收斂(沒達到指定的收斂閾值),程序要繼續(xù)尋找收斂點,經過幾次逼近后才能找到收斂點,這才完成第一次的載荷收斂,下一步再增加10%的載荷,這個逼近過程也是類似的,直到完成100%的載荷加載。

這個過程是非常耗費成本的,因為每一步都需要對剛度矩陣(stiffness matrix)進行迭代,而一般線形分析只需要一個剛度矩陣即可,也就是說,如這個例子迭代十次的工作量(理想化的時間,成本)相當于線形分析的10倍,實際情況往往更多。

這是一個非線性的世界（Nonlinear World）ansys workbanch圖片1

有些時候,我們不得不接受非線性,這一節(jié)我們主要討論常見的幾種非線性:

幾何非線性(geometic nonlinaerity)
材料非線性(material nonlinearity)
接觸非線性(contact nonlinearity)

1.幾何非線性(geometic nonlinaerity)

幾何非線性有時候又被叫做大變形分析(large displacement,但有些人并不同意這樣叫,因為多大才算大變形呢并沒有一個定量的約定),因為幾何非線性往往涉及到大的位移,大的應變等等。

下面我們通過一個理論實例來說明幾何非線性。如下圖所示,一個桿件一端安裝在鉸鏈上,鉸鏈上安裝有扭簧(torsional spring)抵抗變形,桿件另一端施加有向上的一定大小的力F。我們來看看桿件旋轉角度

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θ{\displaystyle \theta }

θ{\displaystyle \theta }和力F的關系。

這是一個非線性的世界（Nonlinear World）ansys workbanch圖片3

作用力對桿件端部產生的彎矩為:

M=Flcos?θ{\displaystyle M=F~l~\cos \theta }

扭簧產生的扭矩為:

M=kTθ{\displaystyle M=k_{T}~\theta }

,

為扭簧系數(shù)

kT{\displaystyle k_{T}}聯(lián)立上面兩式有:

F=kTθlcos?θ(nonlinear inθ).{\displaystyle {F={\cfrac {k_{T}~\theta }{l~\cos \theta }}\qquad ({\text{nonlinear in}}~\theta )~.}}

此時,很明顯F和

θ{\displaystyle \theta }

呈非線性關系。

如果旋轉角度θ{\displaystyle \theta }很小,比如

θ→0{\displaystyle \theta \rightarrow 0},此時

cos?θ→1{\displaystyle \cos \theta \rightarrow 1},F和

θ{\displaystyle \theta }

的關系變?yōu)?

F=kTθl(linear inθ).{\displaystyle {F={\cfrac {k_{T}~\theta }{l}}\qquad ({\text{linear in}}~\theta )~.}}

此時F和

θ{\displaystyle \theta }

呈線形關系。

如果我們一開始就把問題簡化為線形,那么如下圖所示,線形結果和正確的非線性就有非常大的偏差,從圖中可以看出,當旋轉角度大于30°時,兩種分析結果就分道揚鑣了。

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幾何非線性在工程中非常常見。比如屈曲過程(buckling)就伴隨著幾何非線性,如下圖所示。

這是一個非線性的世界（Nonlinear World）ansys仿真分析圖片20

又比如一根梁兩端約束的不同,受力情況也不同。如下圖所示,一種情況是簡支梁一端約束,另一端可以軸向活動;另一種情況是兩段都受到約束。當施加垂直方向的載荷時,如果運用線形分析,那么結果沒太大差比;當考慮非線性(幾何非線性)時,結果將非常不同。

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當考慮幾何非線性時,簡支梁的位移情況:

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2.材料非線性(material nonlinearity)

材料非線性應該是我們最熟悉的,在材料力學中主要講的就是材料的非線性。當材料通過線形區(qū)域的屈服點(yield point)時,非線性的塑性(plastic)變形開始接管材料的變形形式,此時應力-應變將不再符合線形關系,

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非線性分析中,步長大小的設定對非線性分析有很大的影響,過大的步長、高度非線性的事件或者接觸條件的巨大改變,以及涉及到碰撞、斷裂和高度屈曲的情況,求解器就需要長時間尋找到收斂的平衡點,有時候甚至找不到。但為了簡化,對材料非線性來說,有些時候,在進入塑形變形后,我們同樣可以進行線形簡化。如下圖所示,塑形階段應力-應變的變化還是近似符合線形的,我們仍然可以通過線形擬合來進行替代,或者我們可以通過輸入來自excel的數(shù)據來進行更精確的擬合。