有限元簡(jiǎn)介及在機(jī)械行業(yè)應(yīng)用

2017-03-27 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

簡(jiǎn)介

英文:Finite Element

有限單元法是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。它是50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域--飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)特性分析中應(yīng)用的一種有效的數(shù)值分析方法,隨后很快廣泛的應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)性問(wèn)題。

有限元法分析計(jì)算的思路和做法可歸納如下:

1) 物體離散化

將某個(gè)工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計(jì)算模型,這一步稱作單元剖分。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來(lái);單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問(wèn)題的性質(zhì),描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算進(jìn)度而定(一般情況單元?jiǎng)澐衷郊?xì)則描述變形情況越精確,即越接近實(shí)際變形,但計(jì)算量越大)。所以有限元中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物,而是同新材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣,用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理,則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。

2) 單元特性分析

A、選擇位移模式

在有限單元法中,選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為位移法;選擇節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)稱為力法;取一部分節(jié)點(diǎn)力和一部分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為混合法。位移法易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算自動(dòng)化,所以,在有限單元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。

當(dāng)采用位移法時(shí),物體或結(jié)構(gòu)物離散化之后,就可把單元總的一些物理量如位移,應(yīng)變和應(yīng)力等由節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。這時(shí)可以對(duì)單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描述。通常,有限元法我們就將位移表示為坐標(biāo)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)。這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)。

B、分析單元的力學(xué)性質(zhì)

根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等,找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式,這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來(lái)建立力和位移的方程式,從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?這是有限元法的基本步驟之一。

C、計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力

物體離散化后,假定力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是,對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體,力是從單元的公共邊傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而,這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去,也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代替所有作用在單元上的力。

3) 單元組集

利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái),形成整體的有限元方程

(1-1)

式中,K是整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;q是節(jié)點(diǎn)位移列陣;f是載荷列陣。

4) 求解未知節(jié)點(diǎn)位移

解有限元方程式(1-1)得出位移。這里,可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來(lái)選擇合適的計(jì)算方法。

通過(guò)上述分析,可以看出,有限單元法的基本思想是"一分一合",分是為了就進(jìn)行單元分析,合則為了對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。

有限元的發(fā)展概況

1943年 courant在論文中取定義在三角形域上分片連續(xù)函數(shù),利用最小勢(shì)能原理研究St.Venant的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。

1960年 clough的平面彈性論文中用“有限元法”這個(gè)名稱。

1965年馮康發(fā)表了論文“基于變分原理的差分格式”,這篇論文是國(guó)際學(xué)術(shù)界承認(rèn)我國(guó)獨(dú)立發(fā)展有限元方法的主要依據(jù)。

1970年隨著計(jì)算機(jī)和軟件的發(fā)展,有限元發(fā)展起來(lái)。

涉及的內(nèi)容:有限元所依據(jù)的理論,單元的劃分原則,形狀函數(shù)的選取及協(xié)調(diào)性。

有限元法涉及:數(shù)值計(jì)算方法及其誤差、收斂性和穩(wěn)定性。

應(yīng)用范圍:固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)、聲學(xué)、生物力學(xué)

求解的情況:桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構(gòu)成的彈性(線性和非線性)、彈塑性或塑性問(wèn)題(包括靜力和動(dòng)力問(wèn)題)。能求解各類場(chǎng)分布問(wèn)題(流體場(chǎng)、溫度場(chǎng)、電磁場(chǎng)等的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問(wèn)題),水流管路、電路、潤(rùn)滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問(wèn)題。

5)有限元的未來(lái)是多物理場(chǎng)耦合

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展,在工程領(lǐng)域中,有限元分析(FEA)越來(lái)越多地用于仿真模擬,來(lái)求解真實(shí)的工程問(wèn)題。這些年來(lái),越來(lái)越多的工程師、應(yīng)用數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家已經(jīng)證明這種采用求解偏微分方程(PDE)的方法可以求解許多物理現(xiàn)象,這些偏微分方程可以用來(lái)描述流動(dòng)、電磁場(chǎng)以及結(jié)構(gòu)力學(xué)等等。有限元方法用來(lái)將這些眾所周知的數(shù)學(xué)方程轉(zhuǎn)化為近似的數(shù)字式圖象。

早期的有限元主要關(guān)注于某個(gè)專業(yè)領(lǐng)域,比如應(yīng)力或疲勞,但是,一般來(lái)說(shuō),物理現(xiàn)象都不是單獨(dú)存在的。例如,只要運(yùn)動(dòng)就會(huì)產(chǎn)生熱,而熱反過(guò)來(lái)又影響一些材料屬性,如電導(dǎo)率、化學(xué)反應(yīng)速率、流體的粘性等等。這種物理系統(tǒng)的耦合就是我們所說(shuō)的多物理場(chǎng),分析起來(lái)比我們單獨(dú)去分析一個(gè)物理場(chǎng)要復(fù)雜得多。很明顯,我們現(xiàn)在需要一個(gè)多物理場(chǎng)分析工具。

在上個(gè)世紀(jì)90年代以前,由于計(jì)算機(jī)資源的缺乏,多物理場(chǎng)模擬僅僅停留在理論階段,有限元建模也局限于對(duì)單個(gè)物理場(chǎng)的模擬,最常見的也就是對(duì)力學(xué)、傳熱、流體以及電磁場(chǎng)的模擬?？雌饋?lái)有限元仿真的命運(yùn)好像也就是對(duì)單個(gè)物理場(chǎng)的模擬。

現(xiàn)在這種情況已經(jīng)開始改變。經(jīng)過(guò)數(shù)十年的努力,計(jì)算科學(xué)的發(fā)展為我們提供了更靈巧簡(jiǎn)潔而又快速的算法,更強(qiáng)勁的硬件配置,使得對(duì)多物理場(chǎng)的有限元模擬成為可能。新興的有限元方法為多物理場(chǎng)分析提供了一個(gè)新的機(jī)遇,滿足了工程師對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)的求解需要。有限元的未來(lái)在于多物理場(chǎng)求解。

千言萬(wàn)語(yǔ)道不盡,下面只能通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)展示多物理場(chǎng)的有限元分析在未來(lái)的一些潛在應(yīng)用。

壓電擴(kuò)音器(Piezoacoustic transducer)可以將電流轉(zhuǎn)換為聲學(xué)壓力場(chǎng),或者反過(guò)來(lái),將聲場(chǎng)轉(zhuǎn)換為電流場(chǎng)。這種裝置一般用在空氣或者液體中的聲源裝置上,比如相控陣麥克風(fēng),超聲生物成像儀,聲納傳感器,聲學(xué)生物治療儀等,也可用在一些機(jī)械裝置比如噴墨機(jī)和壓電馬達(dá)等。

壓電擴(kuò)音器涉及到三個(gè)不同的物理場(chǎng):結(jié)構(gòu)場(chǎng),電場(chǎng)以及流體中的聲場(chǎng)。只有具有多物理場(chǎng)分析能力的軟件才能求解這個(gè)模型。

壓電材料選用PZT5-H晶體,這種材料在壓電傳感器中用得比較廣泛。在空氣和晶體的交界面處,將聲場(chǎng)邊界條件設(shè)置為壓力等于結(jié)構(gòu)場(chǎng)的法向加速度,這樣可以將壓力傳到空氣中去。另外,晶體域中又會(huì)因?yàn)榭諝鈮毫?duì)其的影響而產(chǎn)生變形。仿真研究了在施加一個(gè)幅值200V,震蕩頻率為300 KHz的電流后,晶體產(chǎn)生的聲波傳播。這個(gè)模型的描述及其完美的結(jié)果表明在任何復(fù)雜的模型下,我們都可以用一系列的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表達(dá),進(jìn)而求解。

多物理場(chǎng)建模的另外一個(gè)優(yōu)勢(shì)就是在學(xué)校里,學(xué)生們直觀地獲取了以前無(wú)法見到的一些現(xiàn)象,而簡(jiǎn)單易懂的表達(dá)方式也獲得了學(xué)生們的好感。這只是Krishan Kumar Bhatia博士在紐約Glassboro的Rowan 大學(xué)給高年級(jí)的畢業(yè)生講授傳熱方程課程時(shí)介紹建模及分析工具所感受到的,他的學(xué)生的課題是如何冷卻一個(gè)摩托車的發(fā)動(dòng)機(jī)箱。Bhatia博士教他們?nèi)绾卫谩霸O(shè)計(jì)-制造-檢測(cè)”的理念來(lái)判斷問(wèn)題、找出問(wèn)題、解決問(wèn)題。如果沒(méi)有計(jì)算機(jī)仿真的應(yīng)用,這種方法在課堂上推廣是不可想象的,因?yàn)樗栀M(fèi)用實(shí)在是太大了。

COMSOL Multiphysics擁有優(yōu)秀的用戶界面,可以使學(xué)生方便地設(shè)置傳熱問(wèn)題,并很快得到所需要的結(jié)果?！拔业哪繕?biāo)是使每個(gè)學(xué)生都能了解偏微分方程,當(dāng)下次再遇到這樣的問(wèn)題時(shí),他們不會(huì)再擔(dān)心,”Bhatia博士說(shuō),“這不需要了解太多的分析工具,總的來(lái)說(shuō),學(xué)生都反映‘這個(gè)建模工具太棒了’”。

很多優(yōu)秀的高科技工程公司已經(jīng)看到多物理場(chǎng)建?？梢詭椭麄儽３指?jìng)爭(zhēng)力。多物理場(chǎng)建模工具可以讓工程師進(jìn)行更多的虛擬分析而不是每次都需要進(jìn)行實(shí)物測(cè)試。這樣,他們就可以快速而經(jīng)濟(jì)地優(yōu)化產(chǎn)品。在印度尼西亞的Medrad Innovations Group中,由John Kalafut博士帶領(lǐng)著一個(gè)研究小組,采用多物理場(chǎng)分析工具來(lái)研究細(xì)長(zhǎng)的注射器中血細(xì)胞的注射過(guò)程,這是一種非牛頓流體,而且具有很高的剪切速率。

通過(guò)這項(xiàng)研究,Medrad的工程師制造了一個(gè)新穎的裝置稱為先鋒型血管造影導(dǎo)管(Vanguard Dx Angiographic Catheter)。同采用尖噴嘴的傳統(tǒng)導(dǎo)管相比,采用擴(kuò)散型噴嘴的新導(dǎo)管使得造影劑分布得更加均勻。造影劑就是在進(jìn)行X光拍照時(shí),將病變的器官顯示得更加清楚的特殊材料。

另外一個(gè)問(wèn)題就是傳統(tǒng)導(dǎo)管在使用過(guò)程中可能會(huì)使得造影劑產(chǎn)生很大的速度,進(jìn)而可能會(huì)損傷血管。先鋒型血管造影導(dǎo)管降低了造影劑對(duì)血管產(chǎn)生的沖擊力,將血管損傷的可能性降至最低。

關(guān)鍵的問(wèn)題就是如何去設(shè)計(jì)導(dǎo)管的噴嘴形狀,使其既能優(yōu)化流體速度又能減少結(jié)構(gòu)變形。Kalafut的研究小組利用多物理場(chǎng)建模方法將層流產(chǎn)生的力耦合到應(yīng)力應(yīng)變分析中去,進(jìn)而對(duì)各種不同噴嘴的形狀、布局進(jìn)行流固耦合分析?！拔覀兊囊粋€(gè)實(shí)習(xí)生針對(duì)不同的流體區(qū)域建立不同的噴嘴布局,并進(jìn)行了分析,” Kalafut博士說(shuō),“我們利用這些分析結(jié)果來(lái)評(píng)估這些新想法的可行性,進(jìn)而降低實(shí)體模型制造次數(shù)”。

摩擦攪拌焊接(FSW),自從1991年被申請(qǐng)專利以來(lái),已經(jīng)廣泛應(yīng)用于鋁合金的焊接。航空工業(yè)最先開始采用這些技術(shù),現(xiàn)在正在研究如何利用它來(lái)降低制造成本。在摩擦攪拌焊接的過(guò)程中,一個(gè)圓柱狀具有軸肩和攪拌頭的刀具旋轉(zhuǎn)插入兩片金屬的連接處。旋轉(zhuǎn)的軸肩和攪拌頭用來(lái)生熱,但是這個(gè)熱還不足以融化金屬。反之,軟化呈塑性的金屬會(huì)形成一道堅(jiān)實(shí)的屏障,會(huì)阻止氧氣氧化金屬和氣泡的形成。粉碎,攪拌和擠壓的動(dòng)作可以使焊縫處的結(jié)構(gòu)比原先的金屬結(jié)構(gòu)還要好,強(qiáng)度甚至可以到原來(lái)的兩倍。這種焊接裝置甚至可以用于不同類型的鋁合金焊接。

空中客車(AirBus)資助了很多關(guān)于摩擦攪拌焊接的研究。在制造商大規(guī)模投資和重組生產(chǎn)線之前,Cranfield大學(xué)的Paul Colegrove博士利用多物理場(chǎng)分析工具幫助他們理解了加工過(guò)程。

第一個(gè)研究成果是一個(gè)摩擦攪拌焊接的數(shù)學(xué)模型,這讓空客的工程師“透視”到焊縫中來(lái)檢查溫度分布和微結(jié)構(gòu)的變化。Colegrove博士和他的研究小組還編寫了一個(gè)帶有圖形界面的仿真工具,這樣空客的工程師可以直接提取材料的熱力屬性以及焊縫極限強(qiáng)度。

在這個(gè)摩擦攪拌焊接的模擬過(guò)程中,將三維的傳熱分析和二維軸對(duì)稱的渦流模擬耦合起來(lái)。傳熱分析計(jì)算在刀具表面施加熱流密度后,結(jié)構(gòu)的熱分布?？梢蕴崛〕龅毒叩奈灰?熱邊界條件,以及焊接處材料的熱學(xué)屬性。接下來(lái)將刀具表面處的三維熱分布映射到二維模型上。耦合起來(lái)的模型就可以計(jì)算在加工過(guò)程中熱和流體之間的相互作用。

將基片的電磁、電阻以及傳熱行為耦合起來(lái)需要一個(gè)真正的多物理場(chǎng)分析工具。一個(gè)典型的應(yīng)用是在半導(dǎo)體的加工和退火的工藝中,有一種利用感應(yīng)加熱的熱壁熔爐,它用來(lái)讓半導(dǎo)體晶圓生長(zhǎng),這是電子行業(yè)中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。

例如,金剛砂在2,000°C的高溫環(huán)境下可以取代石墨接收器,接收器由功率接近10KW的射頻裝置加熱。在如此高溫下要保持爐內(nèi)溫度的均勻,爐腔的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。經(jīng)過(guò)多物理場(chǎng)分析工具的分析,發(fā)現(xiàn)熱量主要是通過(guò)輻射的方式進(jìn)行傳播的。在模型內(nèi)不僅可以看到晶圓表面溫度的分布,還可以看到熔爐的石英管上的溫度分布。

在電路設(shè)計(jì)中,影響材料選擇的重要方面是材料的耐久性和使用壽命。電器小型化的趨勢(shì)使得可在電路板上安裝的電子元件發(fā)展迅猛。眾所周知,安裝在電路板上的電阻以及其他一些元件會(huì)產(chǎn)生大量的熱,進(jìn)而可能使得元件的焊腳處產(chǎn)生裂縫,最后導(dǎo)致整個(gè)電路板報(bào)廢。

多物理場(chǎng)分析工具可以分析出整個(gè)電路板上熱量的轉(zhuǎn)移,結(jié)構(gòu)的應(yīng)力變化以及由于溫度的上升導(dǎo)致的變形。這樣做可以用來(lái)提升電路板設(shè)計(jì)的合理性以及材料選擇的合理性。

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