麥克斯韋方程和規(guī)范理論的概念起源

麥克斯韋意識(shí)到他在前兩篇論文中提到的位移電流的概念和光的電磁波屬性的概念是極為重要的發(fā)現(xiàn)。所以他在第三篇論文再次歸納了這兩個(gè)概念的數(shù)學(xué)描述?？墒谴藭r(shí),似乎麥克斯韋本人也意識(shí)到“渦旋”概念的不合理,所以在這篇論文中,他再也沒有試圖用“渦旋”來解釋電磁現(xiàn)象。因此我們可以合理地假設(shè),在1865年,麥克斯韋已經(jīng)不再認(rèn)為“渦旋”模型是一個(gè)必不可少的解釋電磁現(xiàn)象的概念。不過當(dāng)時(shí)他仍然堅(jiān)持“必須存在一種以太介質(zhì),它無處不在并且可以滲透物體?！?

1886年,赫茲((Heinrich Hertz,1857—1894)用實(shí)驗(yàn)證明電磁波的存在,用他設(shè)計(jì)的電路成功地發(fā)射、接受到了電磁波。

在十九世紀(jì)80年代,亥賽維(Oliver Heaviside,1890—1925)和赫茲分別發(fā)現(xiàn)可以去掉麥克斯韋方程中的磁矢量勢(shì)A。這一簡化使麥克斯韋方程更好地展現(xiàn)電與磁的對(duì)稱之美。當(dāng)然我們今天知道,在量子力學(xué)的框架中,不能去掉磁矢量勢(shì)A,因其可在阿哈羅諾夫—玻姆(Aharonov-Bohm) 效應(yīng)中被觀測(cè)到。

二十世紀(jì)場(chǎng)論的發(fā)展起源于愛因斯坦于1905年提出的狹義相對(duì)論。愛因斯坦從概念上摒棄了困擾理論物理界多年而且并不正確的“以太”,并提出電磁波本身就是一種看得見摸得著的介質(zhì)。真正的真空指無實(shí)體粒子、亦無電磁場(chǎng)的時(shí)空。真空概念的提出解決了1887年由邁克耳遜-莫雷實(shí)驗(yàn)(Michelson-Morley)而引出的物理疑團(tuán)。當(dāng)時(shí)這一實(shí)驗(yàn)的目的是尋找“以太”,但以失敗告終。可是,當(dāng)今物理學(xué)界認(rèn)為,愛因斯坦之所以提出真空的概念并不是為了解釋邁克耳遜-莫雷實(shí)驗(yàn),而是為了正確地解釋物理中“同時(shí)性”這一基本概念。

從1930年到1932年,隨著實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)質(zhì)子,科學(xué)家廣泛采納狄拉克提出的“真空是由無限負(fù)能量的粒子組成”的概念,并最終演變成名為“量子電動(dòng)力學(xué)”的重要理論。20世紀(jì)30年代,量子電動(dòng)力學(xué)在低級(jí)近似計(jì)算中取得成功,但卻由于其中存在對(duì)“無窮大”的定義,使得其在高級(jí)近似計(jì)算中并不成功。

1947年—1950年,隨著一系列理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的突破,量子電動(dòng)力學(xué)在被進(jìn)行重整化修正后成為當(dāng)時(shí)最為精確的計(jì)算粒子物理電磁性質(zhì)的理論。最新的報(bào)道顯示,利用量子電動(dòng)力學(xué)計(jì)算的電子反常磁矩與實(shí)驗(yàn)值的偏差只有十億分之一((文獻(xiàn)[3],Quick Study by Gerald Gabrieslse, Physics Today, Dec 2013, p64)。

隨著重整化方法在量子電動(dòng)力學(xué)中的成功,以及眾多新的基本粒子的發(fā)現(xiàn),物理學(xué)界開始通過拓展場(chǎng)論的方法來解釋粒子之間的相互作用。雖然那個(gè)時(shí)代物理界發(fā)表了大量的研究成果,但均未能推動(dòng)根本性地理解粒子間的相互作用。那一時(shí)期的熱點(diǎn)包括,帶有矢量相互作用的標(biāo)量介子理論、帶有贗矢量相互作用的贗標(biāo)量介子理論等等。當(dāng)時(shí)也有物理學(xué)家在場(chǎng)論的范疇之外試圖解釋這些相互作用,但這些努力均未產(chǎn)生突破性的進(jìn)展。

從20世紀(jì)70年代開始,物理學(xué)家開始重新對(duì)場(chǎng)論感興趣。這其中最為重要的理論當(dāng)數(shù)起源于麥克斯韋方程的“非阿貝爾”規(guī)范理論。這里的“非阿貝爾”指的是,一個(gè)群中,不同操作發(fā)生的前后順序不能夠被交換(我曾在”Einstein’s impact on theoretical physics”, Physics Today, 1980 p42一文中討論規(guī)范理論。如果讀者對(duì)更多的技術(shù)細(xì)節(jié)感興趣,可以參閱Physics Today, Mar 1982, p41)。迄今,規(guī)范理論被理論物理學(xué)界認(rèn)為是解釋物質(zhì)結(jié)構(gòu)和相互作用的根基。其現(xiàn)代描述可以追溯到數(shù)學(xué)家外爾(Hermann Weyl)于1918年至1919年發(fā)表的三篇論文。其中可見,外爾深受愛因斯坦對(duì)電磁場(chǎng)幾何性的啟發(fā)。(文獻(xiàn)[4])。

外爾的理論完全基于他對(duì)平行位移重要性的深刻理解。他說:“黎曼幾何的發(fā)展如果要符合于自然界的規(guī)律,那么必須基于矢量的無限小位移?！蓖鉅栠M(jìn)一步考慮,如果在矢量的無限小位移中它的方向發(fā)生改變,那么為什么其長度不能發(fā)生改變?因此外爾提出了不可積的伸縮因子的概念,并且通過下面的方程成功地與電磁場(chǎng)聯(lián)系起來:

這里Aμ是一個(gè)四維矢量勢(shì),而系數(shù)γ為實(shí)數(shù)。外爾將伸縮因子賦予給每個(gè)帶電物體在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)。愛因斯坦批評(píng)外爾在三篇論文中的第二篇里提出的位移的長度改變的概念。當(dāng)時(shí),外爾并不能合理回答愛因斯坦的批評(píng)。

隨著1925年—1926年的量子力學(xué)的發(fā)展,?？?Vladimir Fock)和倫敦(Fritz London)分別指出在新的量子力學(xué)體系中,傳統(tǒng)的(p-eA)應(yīng)該被改寫成:

與方程5相比,eAμdxμ/γ被ieAμdxμ/?取代,也就是說γ被-i?取代。

外爾顯然接受了γ應(yīng)該是虛數(shù)的概念。他于1929年發(fā)表了一篇重要論文,定義了量子電動(dòng)力學(xué)中的規(guī)范變換,并且證明在這種變換下麥克斯韋方程在量子力學(xué)中是不變的。

在規(guī)范變換下,外爾定義的伸縮因子可以被改寫成:

很明顯,從方程7我們可以看出,這個(gè)因子實(shí)際上是一個(gè)相位變化因子。這一改變,也讓愛因斯坦早先的批評(píng)不辯自破。

1905年—1907年,分別發(fā)現(xiàn)洛倫茲不變量的愛因斯坦和明科夫斯基(Herman Minkowski)最早發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在麥克斯韋方程中的高度對(duì)稱性。外爾于1929年發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程在規(guī)范變換下的不變性,揭示了麥克斯韋方程的另一個(gè)重要對(duì)稱性。今天,我們意識(shí)到麥克斯韋方程中的對(duì)稱性正是當(dāng)代物理學(xué)的基石。

外爾的規(guī)范變換涉及一種理論界名為U(1)的在復(fù)數(shù)空間中的幾何轉(zhuǎn)動(dòng) ——這一轉(zhuǎn)動(dòng)與之前麥克斯韋所提出的“渦旋”的概念有驚人的相似。從數(shù)學(xué)上來說,方程7中的相位因子形成了一個(gè)名為U(1)的李群,而李群正是外爾最為感興趣的研究方向之一。更進(jìn)一步,對(duì)于那些更為專業(yè)的讀者,一種名為“纖維叢”的理論在1929年之前就已經(jīng)發(fā)展成型。然而,外爾當(dāng)時(shí)并沒有意識(shí)到電磁現(xiàn)象本身就是一種U(1)束理論,并且本該能夠在1929年將它推廣成非阿貝爾規(guī)范理論。

事實(shí)上,這一推廣發(fā)生在1954年,引發(fā)這一推廣的并非數(shù)學(xué),而是因?yàn)楫?dāng)時(shí)粒子物理學(xué)界不斷發(fā)現(xiàn)新的粒子,所以他們急需一種理論來解釋不同粒子的相互作用。這種強(qiáng)烈的需求在以下一段發(fā)表于1954年的摘要中有清楚的體現(xiàn):

“電荷是電磁場(chǎng)的起源。這一現(xiàn)象中的重要概念是規(guī)范不變量,而規(guī)范不變量與以下幾個(gè)方面相關(guān)(1)描述電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的方程,(2)電流密度,(3)帶電的場(chǎng)與電磁場(chǎng)之間的相互作用。我們?cè)噲D通過擴(kuò)展規(guī)范不變量的概念來解釋同位旋守恒?！? (文獻(xiàn)[5])

這一推廣產(chǎn)生的非阿貝爾場(chǎng)論在數(shù)學(xué)上極為完美,但卻多年無法得到物理學(xué)家們的認(rèn)可。這是因?yàn)?這一理論要求存在一種不具有質(zhì)量但卻帶電荷的粒子。

隨后為了給非阿貝爾場(chǎng)論中的無質(zhì)量粒子賦予質(zhì)量,理論物理學(xué)界于上世紀(jì)60年代引入了自發(fā)對(duì)稱破缺的概念。這一概念最終產(chǎn)生了一系列重要的理論突破,包括利用U(1)xSU(2)xSU(3)規(guī)范來統(tǒng)一弱相互作用、電磁相互作用和強(qiáng)相互作用的標(biāo)準(zhǔn)化模型。從1960年開始,國際理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)界逐步對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化模型進(jìn)行驗(yàn)證。其中最為引人注目的當(dāng)屬2012年在CERN發(fā)現(xiàn)的上帝粒子——“希格斯玻色子”。有數(shù)千名物理學(xué)家參與這一實(shí)驗(yàn)(Physics Today, Sep 2012, p12)。

盡管標(biāo)準(zhǔn)化模型取得了驚人的成就,但它并非最終的理論。首先,這個(gè)理論包含眾多人為添加的常數(shù)。更重要的是,其基礎(chǔ)——對(duì)稱破缺機(jī)制僅僅是一種唯象的概念。費(fèi)米對(duì)beta衰減的“四勢(shì)相互作用”的解釋從1934年開始主導(dǎo)理論界達(dá)40年(文獻(xiàn)[6]),它最終還是被更加深刻的基于U(1)xSU(2)規(guī)范的弱電統(tǒng)一理論所取代。

規(guī)范自由度早在十九世紀(jì)50年代就被麥克斯韋和湯姆森所意識(shí)到。甚至可能更早法拉第已憑借自己的物理直覺注意到這一現(xiàn)象。最終,數(shù)學(xué)家外爾于1929年將麥克斯韋方程中的規(guī)范自由度與量子力學(xué)統(tǒng)一起來,并為當(dāng)今規(guī)范化模型奠定了基礎(chǔ)。

麥克斯韋方程是線性的。在非阿貝爾規(guī)范理論中,方程是非線性的。這種非線性從概念上來說與廣義相對(duì)論中的非線性具有相同的來源。關(guān)于廣義相對(duì)論中的非線性問題,愛因斯坦曾說:

“我們僅僅考慮純引力場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)。

這些方程的奇特性一方面在于其復(fù)雜形式,尤其是其場(chǎng)量和微分的非線性。另一方面,這一復(fù)雜性又是極為必要的,因?yàn)槭亲儞Q群決定了場(chǎng)論的復(fù)雜性。(文獻(xiàn)7,p75)。

因此,真正的理論必然是非線性的(文獻(xiàn)7,p89)?！?/strong>