麥克斯韋方程組是如何來(lái)的？

2017-04-25  by:CAE仿真在線  來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

美國(guó)著名物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼(Richard Feynman)曾預(yù)言:“人類歷史從長(zhǎng)遠(yuǎn)看,好比說(shuō)到一萬(wàn)年以后看回來(lái),19世紀(jì)最舉足輕重的毫無(wú)疑問(wèn)就是麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了電動(dòng)力學(xué)定律。” 這個(gè)預(yù)言或許對(duì)吧。可是費(fèi)曼也知道,麥克斯韋可不是一下子就發(fā)現(xiàn)了所有有關(guān)電動(dòng)力學(xué)的定律,所以如果一定要選出一個(gè)有代表性的時(shí)間,他很有可能會(huì)選1864年10月27日。那天麥克斯韋向皇家學(xué)會(huì)成員闡述了他的論文“電磁場(chǎng)的動(dòng)力理論”。一年后麥克斯韋正式發(fā)表他這個(gè)激進(jìn)的新理論。那時(shí)候整套理論還顯得很冗長(zhǎng),后來(lái)是他的追隨者把這個(gè)理論精煉到了四個(gè)如今著名的方程式。無(wú)論如何,把這些方程是稱為麥克斯韋方程組還是有道理的。所以我們今天要來(lái)慶祝它們150歲的生日。

1820年以前,科學(xué)家相信電和磁是截然不同的兩種現(xiàn)象。后來(lái)漢施·克里斯蒂安·奧斯特(Hans Christian Oersted)報(bào)告了一個(gè)引人注目的結(jié)果:當(dāng)他把磁化的指南針?lè)诺酵妼?dǎo)線附近時(shí),指南針移動(dòng)到了和導(dǎo)線垂直的角度。各處的科學(xué)家都驚呆了,立即著手研究電和磁的關(guān)聯(lián)。其中就有麥克·法拉第(Michael Faraday)。

詹姆士·克勒克·麥克斯韋是十九世紀(jì)物理學(xué)界最有影響力的人物。(C) GL ARCHIVE/ALAMY

法拉第是個(gè)倫敦鐵匠的兒子,自學(xué)成材。29歲的時(shí)候,他在皇家研究所漢弗萊·戴維(Humphry Davy)手下工作。作為一個(gè)分析化學(xué)家,他豎立了機(jī)智靈敏又可靠的好口碑。只有其他事情一做完,他就開(kāi)始實(shí)驗(yàn)電流和磁。他并不懂?dāng)?shù)學(xué),所以至少表面看來(lái),他比起那些同時(shí)代的接受過(guò)完好教育的人來(lái)有所欠缺。但反過(guò)來(lái)說(shuō),這種缺失卻成了他的優(yōu)勢(shì),他比別人更能自由地思考。他問(wèn)了很多別人都沒(méi)有考慮過(guò)的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了別人沒(méi)有想到過(guò)的實(shí)驗(yàn),看到了別人錯(cuò)過(guò)的機(jī)會(huì)。

與他同時(shí)代的安德烈·瑪麗·安培(André Marie Ampère)以驚人的速度重復(fù)了奧斯特的實(shí)驗(yàn)。沒(méi)幾個(gè)月就發(fā)展出了一整套數(shù)學(xué)理論。他說(shuō),任何一個(gè)電流環(huán)都會(huì)產(chǎn)生貫穿過(guò)這個(gè)環(huán)的磁力。安培的理論,就像此前的庫(kù)倫,是基于牛頓的萬(wàn)有引力理論的。庫(kù)倫認(rèn)為,在點(diǎn)電荷和磁極之間會(huì)即時(shí)產(chǎn)生直線狀的電力和磁力。這些力和距離的平方成反比。安培計(jì)算了把通電導(dǎo)線看作是無(wú)限小的電流分段串在一起,把每個(gè)無(wú)限小的電流分段當(dāng)作是一個(gè)點(diǎn)來(lái)處理,從而計(jì)算通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁力。要算通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁力,只要把所有電流分段的效應(yīng)在數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)單相加。

在法拉第看來(lái),若要說(shuō)奧斯特實(shí)驗(yàn)中指南針是被一組直線引力以及它和導(dǎo)線之間排斥力驅(qū)動(dòng),那是不對(duì)的。他覺(jué)得,應(yīng)該是通電導(dǎo)線在它的周圍空間引起了一種環(huán)形的力。他涉及了一個(gè)聰明而簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證這個(gè)想法。法拉第將一條磁鐵豎直固定在一個(gè)小臉盆中央,并將水銀倒入臉盆中,直到只有磁鐵的頂端露出來(lái)。然后他把一根導(dǎo)線伸到水銀中。當(dāng)他通上電,導(dǎo)線和水銀就是電路的一部分了。與水銀接觸的導(dǎo)線的頂端圍繞磁鐵快速轉(zhuǎn)動(dòng)。他制造了這個(gè)世界上第一個(gè)電動(dòng)機(jī)。

安培已經(jīng)演示過(guò)如何從電產(chǎn)生磁——那么從磁里產(chǎn)生電當(dāng)然應(yīng)該有可能啦。然而十年來(lái)科學(xué)家屢試屢敗。然后到了1831年,法拉第發(fā)現(xiàn)了這個(gè)目標(biāo)難以企及的原因:要想在導(dǎo)線里產(chǎn)生電流,你必須改變導(dǎo)線周圍空間里的磁場(chǎng)態(tài)。你只要在電路周圍移動(dòng)一個(gè)磁鐵(或者反過(guò)來(lái)),那么電路就有電流了。然而空間的磁場(chǎng)態(tài)確切來(lái)說(shuō)到底是什么呢?法拉第想起了白紙上磁鐵周圍鐵屑的分布,他確信磁鐵不只是一塊帶著有趣特性的鐵,它是整個(gè)磁力曲線在空間分布的中心,磁力線實(shí)際存在。而且,這種現(xiàn)象不僅鐵磁有:在導(dǎo)電電路的周圍也有相似的磁力線。

法拉第得出進(jìn)一步結(jié)論。通過(guò)測(cè)試,他總結(jié)說(shuō)每個(gè)帶電物體都是電力線的源頭,在空間里也會(huì)彎曲。和連續(xù)成環(huán)狀的磁力線不同(它們不終止于磁鐵,而是穿過(guò)磁鐵),電力線總是從一處的正電荷物體到另一處的負(fù)電荷物體。所以每個(gè)正電荷都和別處一個(gè)負(fù)電荷有一個(gè)平衡。他同時(shí)觀察到,無(wú)論是磁效應(yīng)還是電效應(yīng),都不是即時(shí)的,都要一段時(shí)間來(lái)產(chǎn)生作用。照他的理解,這是系統(tǒng)要建立起這些電力、磁力線所需要花費(fèi)的時(shí)間。

英國(guó)科學(xué)家麥克·法拉第(畫(huà)像)對(duì)麥克斯韋發(fā)展電磁統(tǒng)一理論有幫助。(C) GL ARCHIVE/ALAMY

法拉第和其他科學(xué)家的思維方式很不一樣。通常科學(xué)家仍然認(rèn)為電力和磁力是由一段距離內(nèi)的實(shí)質(zhì)物體相互作用,而空間的作用是消極的?；始姨煳膶W(xué)家喬治比德?tīng)柊?George Biddell Airy)爵士評(píng)價(jià)法拉第的電力磁力線是“模糊和變化的”,他代表了當(dāng)時(shí)很多人的意見(jiàn)。這也好理解。他們通常的遠(yuǎn)距作用理論有一個(gè)明確的公式,而法拉第的理論卻沒(méi)有提供任何公式。雖然他們尊敬法拉第,認(rèn)為他是一位超凡的實(shí)驗(yàn)家,但大多數(shù)科學(xué)家覺(jué)得他不懂?dāng)?shù)學(xué),因而缺乏理論基礎(chǔ)。

法拉第了解他們的這些意見(jiàn),所以在發(fā)表電力磁力線理論的時(shí)候格外謹(jǐn)慎。只有一次他做了一次冒險(xiǎn)。那是在1846年, 他的一個(gè)同事查爾斯·威特斯通(Charles Wheatstone)要在皇家學(xué)院演講他的發(fā)明,但臨陣怯場(chǎng)。于是,法拉第決定自己來(lái)做個(gè)演講。他在給定時(shí)間結(jié)束前開(kāi)始講預(yù)告之外的內(nèi)容。他卸下心理防備,把自己最私密的想法說(shuō)了出來(lái)。他向聽(tīng)眾們講述了有著驚人預(yù)見(jiàn)的關(guān)于光的電磁理論。他推測(cè),全部空間都充滿著電力線和磁力線。這些線橫向振動(dòng),當(dāng)受到干擾時(shí),就會(huì)沿著線的方向以很快但有限的速度發(fā)射能量波。他說(shuō),光很可能就是光線振動(dòng)的一種體現(xiàn)。

現(xiàn)在我們知道,他已經(jīng)很接近真相了。但在法拉第的那些科學(xué)家同事看來(lái),光線振動(dòng)就像奇幻傳說(shuō)一樣荒唐。以至于法拉第的支持者都感到尷尬,法拉第本人也后悔松懈了思想防備。他把他同時(shí)代的人遠(yuǎn)遠(yuǎn)地甩在了后頭,一直等到四十年以后才有人能揭示法拉第真正的偉大。這個(gè)人有著同樣思想高度,和法拉第能力上的有著互補(bǔ)。這個(gè)人就是詹姆士·克勒克·麥克斯韋(James Clerk Maxwell)。

麥克斯韋職業(yè)生涯驚人而又短暫(他死時(shí)48歲)。他在他從事的每個(gè)物理分領(lǐng)域都做出了根本性的發(fā)現(xiàn)。但他最偉大的工作是關(guān)于電場(chǎng)和磁場(chǎng),這點(diǎn)像法拉第。麥克斯韋出生于一個(gè)高貴的蘇格蘭家庭,他進(jìn)了愛(ài)丁堡最好的中學(xué),然后去了愛(ài)丁堡大學(xué)和劍橋大學(xué)。他在劍橋大學(xué)得到了數(shù)學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試的第二名,獲得了學(xué)士學(xué)位。這之后,他就開(kāi)始閱讀有關(guān)法拉第的電學(xué)實(shí)驗(yàn)。麥克斯韋一下子被法拉第的坦誠(chéng)吸引了:這個(gè)偉人公開(kāi)他的成功以及失敗,表達(dá)他成熟以及粗略的想法。再讀下去,麥克斯韋看到這項(xiàng)工作真正的力量:在尋找探究明白前,思想就有偉大飛躍。在麥克斯韋看來(lái),線這個(gè)概念在空間上是有道理的,雖然法拉第表達(dá)起來(lái)都是用文字的,但本質(zhì)上這是可以用數(shù)學(xué)表述的。他開(kāi)始用數(shù)學(xué)的力量承載起法拉第的想法。九年里,他跨越了三次令人驚嘆的階段,成功了。

麥克斯韋非常善于發(fā)現(xiàn)自然界不同領(lǐng)域的相似性。1856年,他開(kāi)始用虛擬的不可壓縮的勻速流體來(lái)類比電力線和磁力線:在空間區(qū)域的流體速度和方向代表了力線的密度和方向。如此,他就證明了靜態(tài)電力和磁力可以從傳統(tǒng)的距離之間的作用理論推導(dǎo)出來(lái)。這是個(gè)了不起的成就。但當(dāng)時(shí),麥克斯韋不知道如何處理變化的力線。依照他慣有的方式,他去干別的工作了,但這些想法一致在他腦中醞釀。

六年后,他有了一個(gè)新模型。他想象空間里充滿著小球,這些小球可以旋轉(zhuǎn),它們被更小的粒子在空間上間隔開(kāi)。那些小粒子就像是鋼珠軸承。麥克斯韋假設(shè)這些小球質(zhì)量很小但有限,并有一定的彈性。如此一來(lái),就可以把電力線和磁力線和機(jī)械系統(tǒng)作類比。因而任何一個(gè)小球的變化都會(huì)引起了其他小球的變化。這個(gè)杰出的模型導(dǎo)出了所有著名的電磁方程,它預(yù)言電磁波的傳播速度只由電磁基本性質(zhì)決定。這個(gè)速度和實(shí)驗(yàn)測(cè)到的光速只相差1.5%。這是個(gè)驚人的結(jié)果,但科學(xué)家卻都沒(méi)對(duì)此表態(tài)。他們相信,任何物理分領(lǐng)域,都是以認(rèn)清自然真實(shí)規(guī)律為目標(biāo)的。他們覺(jué)得麥克斯韋的模型并沒(méi)有原創(chuàng)性,用這個(gè)模型嘗試對(duì)電磁和光作解釋是有缺陷的。所有人都預(yù)計(jì)麥克斯韋下一步就是要完善這個(gè)模型。但他沒(méi)有,他把模型放到一邊,只運(yùn)用動(dòng)力原理,從頭開(kāi)始搭建這個(gè)理論。

兩年后,研究成果被發(fā)表在“電磁場(chǎng)的動(dòng)力理論”這篇論文中。在這個(gè)模型里,無(wú)處不在的媒介取代了此前模型中的旋轉(zhuǎn)粒子。媒介具有慣性和彈性,但他對(duì)其機(jī)械特性沒(méi)有詳述。就像變戲法,他運(yùn)用了約瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)的方法,把動(dòng)力系統(tǒng)看成一個(gè)“黑箱”:只要描述了這個(gè)系統(tǒng)的一些通常特征,就可以在不知道具體機(jī)理的情況下,通過(guò)輸入推導(dǎo)出輸出。如此,他就有了電磁場(chǎng)方程組,一共有20個(gè)方程。1864年10月,他在皇家學(xué)會(huì)講述他的這篇論文,聽(tīng)眾們簡(jiǎn)直不知道該拿它如何是好。一個(gè)理論建立在奇怪的模型上已經(jīng)夠糟糕了,而一個(gè)理論不以任何模型為基礎(chǔ),那就根本無(wú)法讓人理解。

直到1879年麥克斯韋過(guò)世,又過(guò)了數(shù)年,他的理論都沒(méi)有人能夠真正理解,就好似在玻璃箱中的展示,廣受仰慕卻無(wú)人能夠接近。后來(lái)是自學(xué)成才做過(guò)電報(bào)員的奧利弗·亥維賽(Oliver Heaviside )讓這套理論變得可以親近。1885年,他把這套理論總結(jié)為我們現(xiàn)在所知的四個(gè)麥克斯韋方程

這里 E 和 H 分別是空間任意點(diǎn)電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力的矢量, ε 和 μ 分別電和磁的基本常量,ρ 是電荷密度, J 是電流密度矢量。頭兩個(gè)方程簡(jiǎn)潔表述了電和磁的平方反比定律。第三、四個(gè)方程定義了電和磁之間的關(guān)系,說(shuō)明電磁波存在并以1/√(με) 的速度傳播。

亥維賽運(yùn)用矢量分析大大簡(jiǎn)化了方程的表達(dá)。三維矢量用一個(gè)字母表示,把電勢(shì)和磁矢勢(shì)都推到幕后。1888年,海因里希·赫茲(Heinrich Hertz)發(fā)現(xiàn)電磁波極大地推動(dòng)了人們對(duì)電磁理論的興趣。人們求助于亥維賽的精煉版本,而非麥克斯韋最初的表述。

要把故事講完整,還要加上三點(diǎn)內(nèi)容。第一,麥克斯維其實(shí)很容易就可以把理論簡(jiǎn)化壓縮,但是他覺(jué)得最好還是保持一定的開(kāi)放性。許多年后,他的智慧顯現(xiàn)了:理查德·費(fèi)曼和其他人發(fā)展量子電動(dòng)力學(xué),就是利用了被亥維賽剔除的原始狀態(tài)下的勢(shì)能量。第二點(diǎn),是麥克斯韋命名了運(yùn)算符號(hào),比如散度和旋度。第三,麥克斯韋事實(shí)上在他的《關(guān)于電和磁的論文》一文中已經(jīng)用了矢量,只不過(guò)他把矢量表達(dá)看作是一種額外的選擇。他的矢量是從威廉·羅萬(wàn)·哈密頓(William Rowan Hamilton)復(fù)雜的四元數(shù)推導(dǎo)而來(lái)。大多數(shù)人都不想用這么復(fù)雜的矢量系統(tǒng),直到亥維賽推出簡(jiǎn)便許多的系統(tǒng)他們才開(kāi)始接受。

最后想想這點(diǎn):雖然麥克斯韋從來(lái)沒(méi)有刻意去追求,但他的方程組揭示了光速是1/√(με),和觀察者、光源的相對(duì)速度都沒(méi)有關(guān)系。這引導(dǎo)出了愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論,E = mc2。 所以說(shuō),或許這個(gè)世界上最著名的公式就應(yīng)該是 E = m/με。這樣才能體現(xiàn)愛(ài)因斯坦和麥克斯韋共同的貢獻(xiàn)。

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