搜索深入淺出地講解麥克斯韋方程組
2017-01-10 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
有人要求不講微積分來講解一下麥克斯韋方程組?感覺到基本不太可能啊,你不知道麥克斯韋方程組里面每個方程都是一個積分或者微分么??那既然這樣,我只能躲躲閃閃,不細(xì)談任何具體的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)關(guān)系,純粹揮揮手扯扯淡地說一說電磁學(xué)里的概念和思想。
1. 力、能、場、勢
經(jīng)典物理研究的一個重要對象就是力
force。比如牛頓力學(xué)的核心就是 F=ma 這個公式,剩下的什么平拋圓周簡諧運動都可以用這貨加上微積分推出來。但是力有一點不好,它是個向量
vector(既有大小又有方向),所以即便是簡單的受力分析,想解出運動方程卻難得要死。很多時候,從能量的角度出發(fā)反而問題會變得簡單很多。能量
energy 說到底就是力在空間上的積分(能量=功=力×距離),所以和力是有緊密聯(lián)系的,而且能量是個標(biāo)量
scalar,加減乘除十分方便。分析力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)就繞開了力,從能量出發(fā),算運動方程比牛頓力學(xué)要簡便得多。
在電磁學(xué)里,我們通過力定義出了場
field 的概念。我們注意到洛侖茲力總有著 F=q(E+v×B)
的形式,具體不談,單看這個公式就會發(fā)現(xiàn)力和電荷(或電荷×速度)程正比。那么我們便可以刨去電荷(或電荷×速度)的部分,僅僅看剩下的這個“系數(shù)”有著怎樣的動力學(xué)性質(zhì)。也就是說,場是某種遍布在空間中的東西,當(dāng)電荷置于場中時便會受力。具體到兩個電荷間的庫侖力的例子,就可以理解為一個電荷制造了電場,而另一個電荷在這個電場中受到了力,反之亦然。類似地我們也可以對能量做相同的事情,刨去能量中的電荷(或電荷×速度),剩下的部分便是勢
potential
一張圖表明關(guān)系:
具體需要指出,這里的電場(標(biāo)為 E)和磁場(標(biāo)為 B)都是向量場,也就是說空間中每一個點都對應(yīng)著一個向量。如果我們把 xyz 三個分量分開來看的話,這就是三個標(biāo)量場。而能量和勢是標(biāo)量(電磁學(xué)中的勢其實并不是標(biāo)量,原因馬上揭曉),放到空間中也就是一個標(biāo)量場。在力 / 場和能量 / 勢之間互相轉(zhuǎn)化的時候,我們是在 31 個標(biāo)量場之間轉(zhuǎn)化,必然有一些信息是丟掉了的。怎么辦?
一個顯而易見的答案是“保守力場”conservative force field。在這樣一個場中,能量(做功)不取決于你選擇什么樣的路徑。打個比方,你爬一座山,無論選擇什么路徑,只要起點和終點一樣,那么垂直方向上的差別都是一樣的,做的功也一樣多。在這種情況下,我們對力場有了諸多限制,也就是說,我假如知道了一個保守力場的 x 一個分量,那么另兩個分量 yz 就隨之確定了,我沒得選(自由度其實只有一個標(biāo)量場)。有了保守力場這樣的額外限制,向量場F(3 個標(biāo)量場)和(1 個)標(biāo)量場 V 之間的轉(zhuǎn)化便不會失去信息了。具體而言,二者關(guān)系可以寫作 F=-?V。這里不說具體細(xì)節(jié),你只要知道 ? 是一種固定的、把一個標(biāo)量場變成三個標(biāo)量場的算法就可以了(叫做算符 operator)。
那么我們想問,電場和磁場是不是保守力場呢?很不幸,不是。在靜電學(xué)中,靜止的電場是保守的,但在電動力學(xué)中,只要有變化的電場和磁場,電場就不是一個保守力場了;而磁場從來都不是保守力場。這也就是說明,在電磁學(xué)中,我們很少涉及能量這個概念,因為它不能完整地描述一個電磁場。我們更多時候只關(guān)注“場”這個概念,盡管因此我們不得不涉足很多向量微積分,但我們沒有辦法,這是不讓信息丟掉的唯一辦法。那么,既然勢也是標(biāo)量,它是否也是一個沒什么用的概念呢?恰恰相反,在電動力學(xué)中我們定義出了“向量勢”vector potential,以保留額外的自由度。后面我會更具體地談到這一點。
總而言之,我想說明一點,那就是電磁學(xué)的主要研究對象是電場和磁場,而麥克斯韋方程組就是描述電場和磁場的方程。勢(包括電勢和磁向量勢)也是有用的概念,而且不像引力勢是一個標(biāo)量,在電磁學(xué)中勢不得不變成一個向量。
2. 麥克斯韋方程組
前邊說到,麥克斯韋方程組 Maxwell equations 是描述電場和磁場的方程。前邊也說到,因為電磁場不是保守力場,它們有三個標(biāo)量場的自由度,所以我們必須用向量微積分來描述電磁場。因此,麥克斯韋方程組每個式子都出現(xiàn)了向量微積分,而整個方程組也有積分形式和微分形式兩種。這兩種形式是完全等價的,只是兩種不同的寫法。這里我先全部寫出。
積分形式:
微分形式:
這里 E 表示電場,B 表示磁場,ε0 和μ0 只是兩個常數(shù)暫時可以忽略。積分形式中 Q 是電荷,I 是電流,V 表示一塊體積,?V 表示它的表面,而 S 表示一塊曲面,?S 表示它的邊緣。微分形式中 ρ 是電荷密度(電荷 / 體積),J 是電流密度(電流 / 面積),? · 和 ? × 是兩個不同的算符,基本可以理解為對向量的某種微分。
先不說任何細(xì)節(jié),我們可以觀察一下等式的左邊。四個方程中,兩個是關(guān)于電場 E 的,兩個是關(guān)于磁場 B 的;兩個是曲面積分 ∫da 或者散度 ? ·,兩個是曲線積分 ∫dl 或者旋度 ? ×。不要管這些術(shù)語都是什么意思,我后面會講到。但光看等式左邊,我們就能看出四個式子分別描述電場和磁場的兩個東西,非常對稱。
3. 電荷 -> 電場,電流 -> 磁場
這一部分和下一部分中,我來簡單講解四個式子分別代表什么意思,而不涉及任何定量和具體的計算。
我們從兩個電荷之間的庫侖力講起。庫侖定律 Coulomb's Law 是電學(xué)中大家接觸到的最早的定律,有如下形式:
其中 Q 是電荷,r 是電荷之間的距離,r 是表示方向的單位向量。像我之前說的,把其中一個電荷當(dāng)作來源,然后刨去另一個電荷,就可以得到電場的表達(dá)式。
高中里應(yīng)該還學(xué)過安培定律 Ampere's Law,也就是電流產(chǎn)生磁場的定律。雖然沒有學(xué)過具體表達(dá)式,但我們已經(jīng)能看出它與庫侖定律之間的區(qū)別。庫侖定律描述了“兩個”微小來源(電荷)之間的“力”,而安培定律是描述了“一個”來源(電流)產(chǎn)生的“場”。事實上,電磁學(xué)中也有磁場版本的庫侖定律,描述了兩個微小電流之間的力,叫做畢奧 - 薩伐爾定律 Biot-Savart Law;反之,也有電場版本的安培定律,描述了一個電荷產(chǎn)生的磁場,叫做高斯定律 Gauss's Law。這四個定律之間有如下關(guān)系:
數(shù)學(xué)上可以證明庫侖定律(畢奧 - 薩伐爾定律)和高斯定律(安培定律)在靜電學(xué)(靜磁學(xué))中是完全等價的,也就是說我們可以任意假設(shè)一個定律,從而推導(dǎo)出另一個定律。然而如果我們想從靜止的靜電學(xué)和靜磁學(xué)推廣到電動力學(xué),前者是非常不便的而后者很卻容易,所以盡管庫侖定律在中學(xué)中常常提到,麥克斯韋方程組中卻沒有它,有的是高斯定律和安培定律。這兩個定律分別是麥克斯韋方程組里的 (1) 和 (4) 的第一項,即:
高斯定律(積分、微分形式):
安培定律(積分、微分形式):
我們繼續(xù)推遲講解數(shù)學(xué)關(guān)系,單看這幾個式子本身,就能看到等式的左邊有電場 E(磁場 B),而右邊有電荷 Q(電流 I)或電荷密度ρ(電流密度 J)?？?電荷產(chǎn)生電場,電流產(chǎn)生磁場!
4. 變化磁場 -> 電場,變化磁場 -> 電場
然而這不是故事的全部,因為事實上電磁場是可以互相轉(zhuǎn)化的。法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng),也就是說變化的磁場是可以產(chǎn)生電場的,這就是法拉第定律 Faraday's Law。類似地,麥克斯韋發(fā)現(xiàn)安培定律的描述并不完善,除了電流以外,變化的電場也可以產(chǎn)生磁場,這被稱為安培 - 麥克斯韋定律 Ampere-Maxwell Law。這兩個定律分別是麥克斯韋方程組里的 (2) 和 (4) 的第二項,即:
法拉第定律(積分、微分形式):
安培 - 麥克斯韋定律(積分、微分形式):
同樣地,等式的左邊有電場 E(磁場 B),而右邊有磁場 B(電場 E)的導(dǎo)數(shù) d/dt 或偏導(dǎo) ?/?t?？?變化磁場產(chǎn)生電場,變化電場產(chǎn)生磁場!
需要指出的是,我這樣的說法其實是不準(zhǔn)確的,因為并不是真的某一個場“產(chǎn)生”的另一個場。這兩個定律只是描述了電場(磁場)和磁場(電場)的變化率之間的定量關(guān)系,而不是因果關(guān)系。
小結(jié)一下,我們已經(jīng)搞清楚了麥克斯韋方程組里每一項的意思,基本就是指出了電磁場的來源和變化電磁場的定量關(guān)系。下一步便是往我們這些粗淺的理解中加入數(shù)學(xué),具體看看這些方程到底說了什么。在這之前,我們必須花一點時間了解一下向量微積分的皮毛。
5. 向量積分
普通的單變量微積分基本可以理解為乘法的一種拓展。我們想計算一個矩形的面積,我們用長 x 乘寬 y,即 xy。如果寬不是一個定值而是根據(jù)長而變化的(也就是說寬是一個長的函數(shù),即寬=y(x)),那么我們就需要積分,記為“∫y(x)dx”。這樣的想法也很容易推廣到更高的維度,比如在一塊體積 V 內(nèi),若電荷密度為 ρ,那么這塊體積內(nèi)的總電荷就是 Q=ρV;如果 ρ 在空間中每一點都不一樣,是個關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù) ρ(x),那么就要變成積分 Q=∫∫∫ρ(x)dV(這里三個 ∫ 表示是一個三維的積分,很多時候也可以省略寫為一個 ∫)。
在向量場中,這個事情比較麻煩。首先兩個向量的乘積的定義稍顯復(fù)雜,必須使用點乘 dot product,即 u·v,它暗示著兩個向量之間的角度,也就是有多么平行。如果 u 和 v 完全平行,它們的點乘是一個正值;如果方向相反,則是一個負(fù)值;如果垂直,那么為 0。另一方面,我們不一定要像上一個電荷的例子一樣積上整個體積 V,我們可以只積一個曲面 S 或者一條曲線 γ。這就是所謂的曲面積分和曲線積分的概念。
曲面積分 surface integral 有如下形式:
其中 S 表示我們需要積的曲面,F 是我們想要積的向量場,· 代表點乘,a 指向垂直于 S 的方向。因此,我們看到,如果 F 和 S 是平行的,那么點乘處處得 0,這個曲面積分也為 0。換句話說,曲面積分表示著向量場 F 穿過曲面 S 的程度,因此也很形象地叫做通量 flux。下圖為兩個簡單的例子(虛線 ---- 表示曲面所在的位置):
曲面積分(通量)為 0:
曲面積分(通量)不為 0:
那么曲線積分 line integral 也很類似,只不過我們不積一個曲面 S 而是一個一維的曲線 γ。它有如下形式:
其中γ表示我們需要積的曲線,·代表點乘,l指向曲線γ的方向。不難看出,曲線積分表示著向量場 F 沿著曲線 γ 的程度。下圖為兩個簡單的例子(虛線 ---- 表示曲線γ):
曲線積分不為 0:
曲線積分為 0:
特別地,如果曲線是閉合的(首尾相連的),那么我們可以在積分符號 ∫ 上畫一個圈,表示閉合,然后這個特殊的曲線積分叫做環(huán)量 circulation,因為是積了一個環(huán)嘛。很顯然,如果 F 是個保守力場,那么我隨便找一個閉合曲線,做的功都一定為 0(這就是保守力場的定義啊),所以保守力場的任意環(huán)量都為 0。最后一提,“環(huán)量”這個名字很少使用,一般就直接叫做“閉合曲線的積分”。
定義一個通量所使用的曲面 S 則不一定要是閉合的,任何曲面都可以。如果這個曲面很特殊恰好是閉合的,我們也可以在積分符號∫∫上畫上一個圈,代表閉合,但這個量則沒有一個特殊的名字了。
總結(jié)如下表:
6. 麥克斯韋方程組的積分形式
我非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋隽饲娣e分和曲線積分分別是什么。我們回頭看看麥克斯韋方程組的積分形式,我們應(yīng)該都能看懂了。
(1)、高斯定律:
電場 E 在閉合曲面 ?V 上的通量,等于該曲面包裹住的體積 V 內(nèi)的電荷(乘上系數(shù) 1/ε0);
(2)、法拉第定律:電場 E 在閉合曲線 ?S 上的環(huán)量,等于磁場 B 在該曲線環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率(乘上系數(shù) -1);
(3)、高斯磁定律:磁場 B 在閉合曲面 ?V 上的通量,等于 0;
(4)、安培麥克斯韋定律:磁場 B 在閉合曲線 ?S 上的環(huán)量,等于該曲線環(huán)住的曲面 S 里的電流(乘上系數(shù) μ0),加上電場 E 在該曲線環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率(乘上系數(shù) μ0ε0)。
雖然在我看來,這樣的描述已經(jīng)是非常通俗、沒有任何數(shù)學(xué)了,但對于沒有學(xué)習(xí)過微積分的同學(xué)來說,顯然還是太晦澀了一點。那么我來舉幾個例子吧。
(1) 高斯定律:
例子1:假設(shè)我們有一個點電荷 Q,以其為球心作一個球,把這塊體積稱為 V,那么?V 就是這個球的表面。這個電荷 Q 產(chǎn)生了一些電場,從中心的 Q 向外發(fā)射,顯然電場線都穿過了球的表面?V,所以“閉合曲面?V 的通量”是個正數(shù),不為 0,而“該曲面包裹住的電荷”為 Q,也不為 0。
例子2:假設(shè)我們把電荷 Q 替換為 -Q,那么所有的電場線方向都反過來了,?V 的通量(記得通量中的點乘嗎?)也因此獲得了一個負(fù)號,所以“閉合曲面 ?V 的通量”變成了負(fù)數(shù),而“該曲面包裹住的電荷”為 -Q,也變成了負(fù)數(shù)。等式再一次成立。
例子3:假設(shè)我們把這個球的半徑擴(kuò)大為原來的 2 倍,這個球的表面積就變成了原來的 4 倍。與此同時,由于庫侖力的反比平方定律,由于球表面與球心電荷 Q 的距離變成了原來的 2 倍,在球表面 ?V 的電場強度也變成了原來的 1/4。通量(電場和面積的積分)獲得一個系數(shù) 4,又獲得一個系數(shù) 1/4,所以“閉合曲面 ?V 的通量”沒有變,而“該曲面包裹住的電荷”顯然仍然為 Q,也沒有變。
例子4:事實上,我們隨便怎么改變這一塊表面積的大小、體積,算出來的通量都不會變(盡管會非常難算),因為等式的右邊“該曲面包裹住的電荷”一直都沒有變。
例子5:假設(shè)我們把電荷移到這個曲面外面,那么電場線會從這個球的一面穿透進(jìn)去,然后從另一面出來,所以當(dāng)我們做積分的時候,兩個方向的通量抵消了,整個“閉合曲面?V 的通量”為 0,而此時我們的曲面沒有包裹住任何電荷,所以“該曲面包裹住的電荷”也為 0。等式成立。
(2) 法拉第定律:
例子6:一圈閉合導(dǎo)線,環(huán)住了一塊曲面
S,則記這個曲線的位置為 ?S,那么經(jīng)過 ?S 的電場 E 的環(huán)量其實就是導(dǎo)線內(nèi)的電勢(電壓)。垂直于 S 通過一些磁場 B,則通過 S
的磁通量不為 0。然而此時導(dǎo)線內(nèi)并沒有電流,也就是說,并沒有電壓,“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”為
0。這是很顯然的,因為磁通量并沒有變化,沒有電磁感應(yīng),換句話說,“曲面 S 上的通量的變化率”為 0。
例子7:這個時候我突然增加磁場,所以磁通量變大了,“磁通量的變化率”為正,不為 0。因此,等式的左邊“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”也為正,不為 0,也就是說,導(dǎo)線內(nèi)產(chǎn)生了一些電壓,繼而產(chǎn)生了一些感應(yīng)電流。這正是大家熟悉的法拉第電磁感應(yīng)。
例子8:如果我不是增加磁場,而是減小磁場,那么磁通量變小了,“磁通量的變化率”為負(fù)。那么等式左邊“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”也獲得了一個負(fù)號,換句話說,感應(yīng)電流的方向反了過來。
(3) 高斯磁定律:
例子9:隨便選擇一個閉合曲面,整個曲面上的磁通量一定為 0。這和電場的情況迥然不同,因此說明,不像有可以產(chǎn)生電場的“電荷”,這個世界上是沒有能單獨產(chǎn)生磁場的“磁荷”(也就是“磁單極子”)的。 (4) 安培 - 麥克斯韋定律:
例子10:假設(shè)我們有一個電流
I,以其為軸作一個圓,把這個圓稱為 S,那么 ?S 就是這個圓的邊緣。這個電流 I 產(chǎn)生了一些磁場,(按照右手定則)繞著導(dǎo)線。顯然磁場線和?S
都是“繞著導(dǎo)線”,方向一致,所以“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”是個正數(shù),不為 0,而“該曲線環(huán)住的電流”為 I,也不為 0。
例子11:假設(shè)我們改變電流方向,即把 I 變成 -I,那么所有的磁場線方向都反過來了,?S 的環(huán)量也因此獲得了一個負(fù)號,所以“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”和“該曲線環(huán)住的電流”均獲得一個負(fù)號。等式再一次成立。
例子12:和高斯定律很像,我們隨便怎么改變這一個環(huán)的大小、面積,只要環(huán)住的電流不變,算出來的環(huán)量都不會變(盡管可能會非常難算)。而若電流在這個環(huán)外面,盡管仍然有磁場存在,但在計算環(huán)量時相互抵消,使得等式兩邊都變成 0。
例子13:“變化的電場產(chǎn)生磁場”(即第二項)的例子非常難找,這也正是安培當(dāng)年沒有自己發(fā)現(xiàn)、非要等到麥克斯韋幫忙才發(fā)現(xiàn)的原因。我這里不妨不再細(xì)述,讀者只要接受這個設(shè)定就好。有興趣的讀者可以自己思考一個這種情況的例子。
最后,還記得我們之前說過“保守力場的任意環(huán)量都為 0”嗎?顯然,要想讓磁場的環(huán)量為 0,那就只能既沒有電流(方程 (4) 中的第一項),也沒有變化的電通量(第二項),那么磁場只能為 0。換言之,任何磁場都不是保守力場。想讓電場的通量為 0 還比較簡單,
只需要令磁通量不變(方程 (2))就好了。換言之,只有在靜電學(xué)(電磁場均靜止不變)中,靜電場才是保守力場。
7. 向量微分
麥克斯韋方程組描述了所有的電磁現(xiàn)象,從每個方程的名字也可以看出,方程組總結(jié)、整合了前人(庫侖、高斯、安培、法拉第等)發(fā)現(xiàn)的各種現(xiàn)象和其方程(在麥克斯韋以前這樣的方程可能有數(shù)十個),而麥克斯韋把它們總結(jié)歸納到了一起,用短短四個公式涵蓋了所有現(xiàn)象,非常了不起。然而平心而論,積分形式仍然顯得頗為繁瑣,
原因有二:
1. 積分是很難算的,雖然每一個方程的左右兩邊都必然相等,但隨便給你一個場和一個曲面 / 曲線,想把左側(cè)的積分算出來極為困難;
2. 也正因為如此,我們盡管有可以描述電磁場的方程,但給定一個特定的來源(比如天線中一個來回?fù)u擺的電荷),我們想算出具體的 E 和 B 也是極為困難,因為我們只知道 E 和 B 在某個特殊曲面 / 曲線上的積分。
這就是微分形式的好處。首先,計算一個給定向量場的微分(散度和旋度)是很簡單的,只要使用之前提到過的
? · 和 ? ×
算符就好,而這兩個算符都有一套固定的算法。其次,散度和旋度代表著一個向量場的兩種不同的自由度,有著非常直接的幾何意義,從這兩個量中恢復(fù)出向量場也是比較直觀的過程。當(dāng)然,我們又需要再準(zhǔn)備一些向量微積分的知識,其中的重點就是散度和旋度。
散度 divergence,顧名思義,是指一個向量場發(fā)散的程度。一個向量場 F
的散度是一個標(biāo)量場(向量場的每一點有一個自己的散度),寫作 ? ·
F(這個寫法也很直白,因為點乘就是標(biāo)量)。如果一個點的散度為正,那么在這一點上 F 有向外發(fā)散的趨勢;如果為負(fù),那么在這一點上 F
有向內(nèi)收斂的趨勢。
旋度 curl 則指一個向量場旋轉(zhuǎn)的程度。一個向量場 F
的旋度是一個向量場(向量場的每一點有一個自己的旋度,而且是一個向量;這是因為旋轉(zhuǎn)的方向需要標(biāo)明出來),寫作 ? ×
F(這個寫法也很直白,因為叉乘就是向量)。如果一個點的旋度不為 0,那么在這一點上 F 有漩渦的趨勢,而這個旋度的方向表明了旋轉(zhuǎn)的方向。
舉些例子,以下是兩個向量場的例子。其中第一個向量場往外發(fā)散,但完全沒有旋轉(zhuǎn)扭曲的趨勢;第二個向量場形成了一個標(biāo)準(zhǔn)的漩渦,但沒有任何箭頭在往外或往里指,沒有發(fā)散或收斂的趨勢。(顯然這兩個圖都是用字符直接畫的;大家湊合著看,有空我再搞張好看點的圖)
散度不為 0、但旋度為 0 的向量場:
↖ ↑ ↗
← · →
↙ ↓ ↘
旋度不為 0、但散度為 0 的向量場:
↗ → ↘
↑ · ↓
↖ ← ↙
因此,如你所見,散度和旋度描述的都是非常直觀的幾何性質(zhì)。只要知道一個向量場的散度和旋度,我們就可以唯一確定這個向量場本身(這是亥姆霍茲定理,我要是有興致可以以后簡單談?wù)?。
麥克斯韋方程組的微分形式,就是要描述電磁場的散度和旋度。我前邊說到,微分形式和積分形式是完全等價的,我很也可以很輕松地從一個形式推導(dǎo)出另一個形式,用的是高斯定理(不要和高斯定律混淆、又叫散度定理)和斯托克斯定理。
高斯定理 Gauss's Theorem:一個向量場 F 在閉合曲面 ?V 上的通量,等于該曲面包裹住的體積 V 里的 F 全部的散度(F 的散度的體積積分)。這是可以想象的,畢竟通量就是在計算有多少場從這個閉合曲面里發(fā)散出去了,也就是總共的散度(散度的積分)。
斯托克斯定理 Stokes' Theorem:一個向量場 F 在閉合曲線 ?S 上的環(huán)量,等于該曲線環(huán)住的曲面 S 上的 F 全部的旋度(F 的旋度的曲面積分)。這也是可以想象的,畢竟環(huán)量就是在計算有多少場和這個環(huán)方向一樣(有多少場在沿著這個環(huán)旋轉(zhuǎn)),也就是總共的旋度(旋度的積分)。
總結(jié)如下表:
8. 麥克斯韋方程組的微分形式
了解了散度和旋度的概念之后,我們便可以讀懂麥克斯韋方程組的微分形式了。
(1)、高斯定律:電場 E 的散度,等于在該點的電荷密度 ρ(乘上系數(shù) 1/ε0);
(2)、法拉第定律:電場 E 的旋度,等于在該點的磁場 B 的變化率(乘上系數(shù) -1);
(3)、高斯磁定律:磁場 B 的散度,等于 0;
(4)、安培麥克斯韋定律:磁場 B 的旋度,等于在該點的電流密度 J(乘上系數(shù) μ0),加上在該點的電場 E 的變化率(乘上系數(shù) μ0ε0)。
我們可以看出,電荷和電流對電場和磁場干的事情是不一樣的:電荷的作用是給電場貢獻(xiàn)一些散度,而電流的作用是給磁場貢獻(xiàn)一些旋度。然而變化的電磁場對對方干的事情是一樣的,都是給對方貢獻(xiàn)一些旋度。
想看一些具體例子的同學(xué)要失望了。微分形式的例子比較難舉,因為微分形式主要是讓計算更加簡便,在數(shù)學(xué)上比較有優(yōu)勢,而應(yīng)用到具體的現(xiàn)象上則不那么顯而易見。不過,至少靜電磁場的例子還是可以舉的。比如,我們知道電場線總是從正電荷出發(fā)、然后進(jìn)入負(fù)電荷,這正是在說電場的散度在正電荷處為正,在負(fù)電荷處為負(fù)。再例如我們知道磁場線總是繞著電流,而不會進(jìn)入或發(fā)源于電流,這也就是在說磁場有旋度而一定沒有散度。
9. 電磁波
我剛剛提到,微分形式的主要好處是數(shù)學(xué)上處理起來很簡便,我現(xiàn)在就給一個例子,也就是著名的光速。想象我們在真空中,周圍什么都沒有。這個時候,顯然電荷密度和電流密度均為 0,所以麥克斯韋方程組的微分形式變成了:
這四個公式簡直太對稱了!而且它們的含義也很清晰,基本就是說,變化的電場產(chǎn)生磁場,而變化的磁場產(chǎn)生電場。這就是電磁波 electromagnetic wave 的方程,電磁波也就是電場和磁場此消彼長、相互轉(zhuǎn)化、向前傳播的形式。
想要具體解出這個方程的解,還是需要玩兒一會兒微積分的,但是我們注意到兩個式子分別有系數(shù) -1 和 μ0ε0。如果你了解波動方程的話,從這兩個系數(shù)就可以算出這個波傳播的速度,為
然而!μ0 和 ε0 這兩個常數(shù)是真空的性質(zhì)(分別叫做
真空電導(dǎo)率 vacuum
permittivity 和真空磁導(dǎo)率 vacuum permeability),是個定值。換句話說,電磁波傳播的速度(光速)也是一個定值!也就是說,在任何參考系里觀察,光速都應(yīng)該是一樣的 c!這根據(jù)伽利略速度相加原理是不可能的(靜止的你認(rèn)為火車的速度是 50 m/s,那么如果你以 1 m/s 的速度往前走你就會認(rèn)為火車的速度只有 49 m/s,顯然不會仍然是 50 m/s),但是電磁學(xué)卻實實在在地告訴我們光速是不會變的。吶,這就是相對論的由來了。
10. 方向性
可能有同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn),我們的討論中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。畢竟初高中學(xué)電磁的時候,出現(xiàn)了各種左手、右手定則(插一句,請一定一定忘掉左手定則,使用左手簡直反人類,在正統(tǒng)的向量微積分和電磁學(xué)里只有右手定則)。在之前對于麥克斯韋方程組的詮釋中,我們似乎很少提及方向。麥克斯韋方程組描述了方向性嗎?
答案是肯定的。方向或者說手性(為什么是“右手”定則而不是“左手”定則?)來自于叉乘的定義和面積的向量微分元素的定義。我們定義叉乘
u×v 是一個向量,指的方向是垂直于 u 和 v
的方向;但顯然有兩個不同的方向均滿足這個條件,而我們選擇了其中特定的一個,把選擇的這個規(guī)則叫做“右手定則”。類似地,一個曲面 S
也有兩個方向(即其微分元素 da 是向量)。注意到曲線積分也是有方向性的(即其微分元素 dl也是向量),因此我們把 S 的 da 和 ?S 的
dl 聯(lián)系起來,這個聯(lián)系的規(guī)則也叫做“右手定則”。
上面這些情況中,選擇“右手”是非常隨意的;原則上我也可以全部選擇左手,那么我得到的數(shù)學(xué)體系和原來的是完全等價的。當(dāng)然,磁場
B
會和原來的磁場指的方向完全相反,但是沒有關(guān)系,因為我們又不能直接看到磁場,所有的定律的手性都變了之后,描述的物理是不變的。但是,選擇右手是約定俗成的,也就沒必要再糾結(jié)為什么了。
11. 梯度、二次導(dǎo)數(shù)
我在之前說到保守力場的時候,偷偷塞進(jìn)來過這樣一個式子:F=-?V。這里F是個向量場,V是個標(biāo)量場。我們看到,這個神奇的倒三角不但可以表示散度(把向量變成標(biāo)量)和旋度(把向量變成向量),還可以這樣把一個標(biāo)量場變成一個向量場!數(shù)學(xué)上這個倒三角叫Nabla算符,而?V叫做一個標(biāo)量場V的梯度。
什么叫做梯度呢?其實相比于散度和旋度,這應(yīng)該是更加熟悉的概念。梯度gradient就是一個標(biāo)量場變化的程度。我們可以把一個標(biāo)量場想象成一個山坡,每一點的梯度是一個向量,指的方向是上坡的方向,大小則是坡的陡峭程度。
總結(jié)一下我們見到的三種向量微分吧:
于是從F=-?V這個公式我們看到,保守力場(比如引力場)可以表示為某個標(biāo)量場(比如引力勢能)的梯度。之前說過,保守力場的環(huán)量/旋度一定為0。這也就是說,梯度的旋度一定為0。這是可以想象的,梯度指的是上坡的方向,而如果它有旋度,就意味著它們的指向可以形成的一個環(huán),在這個環(huán)上可以一直上坡。這就像彭羅斯樓梯,是不可能的情形。
還有一個類似的定理,是說旋度的散度一定為0。我們也來想一下幾何上這意味著什么。如果旋度有散度,就意味著在某個球上散度都在往球外指,也就意味著在球上每個點這個場都是逆時針旋轉(zhuǎn)的。想想也知道這是不可能的。所以我們得到了兩個重要的結(jié)論:
1. 任意標(biāo)量場V的梯度?V都是沒有旋度的,也就是?×(?V)=0;
2. 任意向量場F的旋度?×F都是沒有散度的,也就是?·(?×F)=0。
我說過,這些“X度”都可以認(rèn)為是場的一種微分,那么這些“X度的X度”就可以認(rèn)為是二次導(dǎo)數(shù)了。我們看到,有兩種二次導(dǎo)數(shù)都自動為0,不必我們深究。還有一種二次導(dǎo)數(shù)也很有名,也就是梯度的散度,它甚至有了一個專門的花哨的名字,叫“拉普拉斯算符”Laplacian。在此我不作展開,大家只要知道它挺重要的就行。
12. 電荷守恒
從麥克斯韋方程組中可以直接推出電荷守恒。這個推導(dǎo)十分簡單,且頗為有趣,可以讓大家看到向量微積分的方便之處,我就簡要寫一下:
首先我們有安培-麥克斯韋定律:
兩邊同時取散度:
注意到左邊是磁場的旋度的散度,而旋度的散度一定為0,故左邊為0。右邊交換散度和時間導(dǎo)數(shù),并約掉μ0,得:
使用高斯定律:
代入原式,約掉ε0,得:
這個就是電荷守恒的公式。用語言說,就是電流密度的散度加上電荷密度的變化率一定為0。如果這比較抽象,我們可以對兩項同時體積積分,再對J那項使用高斯定律變成面積積分,則結(jié)論變成:
一塊體積V內(nèi)的電荷的變化率加上通過表面?V的電流一定為0。
舉個栗子,如果一塊體積內(nèi)的電荷Q變少了,其變化率為負(fù),根據(jù)上述結(jié)論,通過表面的電流一定為正,也就是說有電流從這塊體積內(nèi)流出去了。這就是非常明顯的電荷守恒了,給出了電荷和電流的關(guān)系,這個公式也叫“連續(xù)性方程”continuity equation。連續(xù)性方程在流體力學(xué)里十分重要,甚至在量子力學(xué)里的概率也遵守這個方程(電荷->概率,電流->概率流)。
S1. 附錄:省略掉的各種公式和定義
庫侖定律:
畢奧-薩伐爾定律:
Nabla算符:
梯度:
散度:
旋度:
高斯定理:
斯托克斯定理:
真空中的電磁波:
附:關(guān)于麥克斯韋電磁方程的動畫視頻講解
著作權(quán)歸作者所有
作者:孫研
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