現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系---要學(xué)好物理,要先把數(shù)學(xué)學(xué)好喲!!

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“我們能直覺地感覺到幾何概念或許讓幾何成為宇宙構(gòu)成的最好語言。在21世紀(jì),我們將無法區(qū)別下面的學(xué)科:物理學(xué):量子力學(xué),廣義相對論,弦理論。幾何學(xué):示性類,指標(biāo)公式。非線性橢圓、拋物方程、雙曲系統(tǒng)、混合型方程。拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、數(shù)論。”——丘成桐

我們從以下兩個(gè)方面可以看出現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系:

(a) Newton的古典引力理論只用到微積分。Einstein的狹義相對論用到簡單的線性代數(shù),數(shù)學(xué)家Minkowski幾乎同時(shí)得到類似結(jié)果。Einstein的廣義相對論則需要用到Riemann幾何來研究時(shí)空和引力。從數(shù)學(xué)上,Hilbert也得到Einstein方程。

(b) Maxwell的電磁學(xué)方程也只用到多元微積分。但數(shù)學(xué)家Weyl、Cartan對引力和電磁力的統(tǒng)一理論的研究(1920年代開始)促進(jìn)了微分幾何的發(fā)展,導(dǎo)致了向量叢、主叢上聯(lián)絡(luò)理論的出現(xiàn)。1940年代Chern-Weil理論的出現(xiàn)標(biāo)志著微分幾何與代數(shù)拓?fù)涞耐昝澜Y(jié)合(聯(lián)絡(luò)理論與示性類理論的統(tǒng)一)。

(c) 1950年代Yang-Mills規(guī)范理論提出后,逐漸成為統(tǒng)一后三種作用力的理論基礎(chǔ)。1970年代發(fā)現(xiàn)這種理論對應(yīng)著幾何學(xué)中的聯(lián)絡(luò)理論。

(d) 1960年代出現(xiàn)的超弦理論在1970年代作為可能統(tǒng)一廣義相對論和規(guī)范理論的終極理論得到大量研究。數(shù)學(xué)上1970年代由于丘成桐證明Calabi猜想而得到的大量Calabi-Yau空間是超弦理論中主要的研究對象之一。超弦理論的研究涉及數(shù)學(xué)的許多主流分支,是數(shù)學(xué)和物理學(xué)相互促進(jìn)的重要領(lǐng)域而受到廣泛關(guān)注。

幾何工程(geometric engineering)是超弦理論中提出的一個(gè)重要理論:從超弦理論得到規(guī)范場論:

從Calabi-Yau到Y(jié)ang-Mills

上述理論的相互關(guān)聯(lián):

1。指標(biāo)理論和?？臻g。

Atiyah和Singer等人發(fā)展的指標(biāo)理論可追溯到Riemann-Roch定理和Gauss-Bonnet-Chern定理,其發(fā)展依賴Chern-Weil示性類理論。各種量子場論(如量子引力、量子規(guī)范場、非線性σ-model等)牽涉到各種模空間上的積分。?？臻g的結(jié)構(gòu)需要用指標(biāo)理論來研究,而其上的積分則要用以下的談到的局部化方法來研究。場論中的各種反常(如gravitional anomaly, chiralanomaly)也需要用指標(biāo)理論來研究。

1970年代Atiyah和Singer用指標(biāo)理論研究規(guī)范場論中instanton的?？臻g1980年代Donaldson將他們的結(jié)果發(fā)展為研究四維流形的全新工具,啟發(fā)了Witten的拓?fù)淞孔訄稣摳拍畹囊搿?990年代a. Witten引進(jìn)Seiberg-Witten方程及其?？臻gb. Gromov-Witten理論(全純映射?？臻g理論)開始盛行c. 鏡像對稱(Calabi-Yau空間兩種模空間的對偶性)被提出并得到廣泛研究

2。等變上同調(diào)和局部化方方法法。幾何學(xué)中有許多局部與整體關(guān)系的結(jié)果。如Poincare-Hopf定理:流形的Euler數(shù)可由向量場的奇點(diǎn)算出。Lefschetz不動點(diǎn)定理:映射的Lefschetz數(shù)可由映射的不動點(diǎn)算出。陳先生的關(guān)于Gauss-Bonnet定理的工作利用了Poincare-Hopf定理。推廣到復(fù)的情形有Bott residue theorem。

由Chern-Weil理 論 發(fā) 展 出equivariant cohomol-ogy和Atiyah-Bott localization theorem。在指標(biāo)理論里有Atiyah等人發(fā)展的一般的Lefschetz不動點(diǎn)定理。這些局部化結(jié)果是研究帶對稱的數(shù)學(xué)或物理系統(tǒng)的有力工具,在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用。在拓?fù)淞孔訄稣撝杏傻茸兩贤{(diào)理論也發(fā)展出了的Mathai-Quillen xxxxalism.

局部化方法也是超弦的數(shù)學(xué)理論中的重要方法。連文豪、劉克峰、丘成桐用它證明了著名的鏡像原理。去年由劉秋菊、劉克峰和我證明的Mari?no-Vafa猜想及其推廣,以及在Gromov-Witten理論中的應(yīng)用都是以這種方法為基礎(chǔ)的。物理學(xué)家也廣泛使用這種方法,如在幾何工程的研究中。

3。Chern-Simons理論和扭結(jié)不不變變量。產(chǎn)生與1970年代的Chern-Simons理論根源在1940年代陳先生的工作中。Chern-Simons理論意想不到的在物理中有很多應(yīng)用。1980年代,Witten發(fā)現(xiàn)

a. Chern-Simons理論可用來構(gòu)造三維流形上不依賴度量的場。

b. 它 與 共 形 場 論 (conxxxxal field theory)中的WZW model的關(guān)系,在數(shù)學(xué)中這種模型對應(yīng)于Kac-Moody代數(shù)的表示理論。

c. 它 與 量 子 群(quantum group), 對 應(yīng) 于 物 理中Yang-Baxter方程的解,有很大關(guān)系。

d. 以上兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)都可以用來構(gòu)造扭結(jié)不變量,如Jones polynomial和HOMFLY polynomial.可以用以下圖表來表示:

Chern-Simons理論 Yang-Baxter方程 Kac-Moody代數(shù) link invariants

它們都在認(rèn)識自然界的終極理論的最前沿的探索中起著關(guān)鍵作用。

是否隨著超弦的數(shù)學(xué)理論理論進(jìn)一步發(fā)展,這六項(xiàng)成果全部可以統(tǒng)一呢?事實(shí)上,物理學(xué)家已經(jīng)開始用超弦理論研究引力和黑洞,如Strominger-Vafa對Bekenstein-Hawking熵做了弦理論解釋。Hawking(霍金)在杭州的演講題目A brane newworld中的brane就是超弦理論中發(fā)展出來的。如果相信超弦理論確實(shí)能統(tǒng)一引力理論和規(guī)范場論的話,可以預(yù)見,這第六項(xiàng)與其他五項(xiàng)的統(tǒng)一是遲早的事